题目
15.lim_(xto+infty)ln(1+2^x)ln(1+(2)/(x))=____.
15.$\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^{x})\ln(1+\frac{2}{x})=____.$
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$，我们首先分析每个部分在 $x \to +\infty$ 时的行为。
1. 考虑 $\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)$ 在 $x \to +\infty$ 时的 behavior:
\[
\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x} \quad \text{(当 $x \to +\infty$ 时，使用泰勒展开 $\ln(1 + y) \approx y$ 对于 $y \to 0$)}
\]
2. 考虑 $\ln(1 + 2^x)$ 在 $x \to +\infty$ 时的 behavior:
\[
\ln(1 + 2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2 \quad \text{(当 $x \to +\infty$ 时，$2^x$ 远大于 1)}
\]
现在，将这两个近似值代入原极限表达式:
\[
\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + 2^x) \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) \approx \lim_{x \to +\infty} (x \ln 2) \left(\frac{2}{x}\right)
\]
简化表达式:
\[
(x \ln 2) \left(\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2
\]
因此，原极限为:
\[
\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + 2^x) \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2
\]
最终答案:
\[
\boxed{2 \ln 2}
\]
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及对数函数在无穷远处的渐进行为，以及利用等价无穷小进行近似化简的能力。
解题核心思路：
- 拆分乘积项：将原式拆分为两个对数函数的乘积，分别分析每个部分在$x \to +\infty$时的渐进行为。
- 近似化简：
- $\ln(1+2^x)$：当$x$很大时，$2^x$远大于1，因此$\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2$。
- $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$：当$x \to +\infty$时，$\frac{2}{x} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$），得$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$。
- 乘积化简：将两个近似表达式相乘，消去$x$，得到常数结果。
破题关键点：
- 识别主导项：在$\ln(1+2^x)$中，$2^x$是主导项，可忽略常数1。
- 等价无穷小替换：利用$\ln(1+y) \sim y$（$y \to 0$）简化第二个对数项。
-
分析$\ln(1+2^x)$的渐进行为
当$x \to +\infty$时，$2^x$远大于1，因此：
$\ln(1+2^x) = \ln\left(2^x \left(1 + \frac{1}{2^x}\right)\right) = \ln(2^x) + \ln\left(1 + \frac{1}{2^x}\right) \approx x \ln 2 + 0 = x \ln 2.$ -
分析$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$的渐进行为
当$x \to +\infty$时，$\frac{2}{x} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$）：
$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}.$ -
代入原式并化简
将两个近似结果代入原式：
$\ln(1+2^x) \cdot \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \left(\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2.$ -
结论
因此，原极限为：
$\lim_{x \to +\infty} \ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2.$