题目
18.已知函数f(x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0 (1)=1, 证明:-|||-(1)存在 xi in (0,1), 使得 (xi )=1-xi .-|||-(2)存在两个不同的点n, xi in (0,1), 使得 '(eta )f'(xi )=1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $g(x) = f(x) + x - 1$，该函数在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $g(0) = -1 < 0$，$g(1) = 1 > 0$。
步骤 2：应用介值定理
根据介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g(\xi) = 0$，即 $f(\xi) + \xi - 1 = 0$，从而 $f(\xi) = 1 - \xi$。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (0,\xi)$，使得 $f'(\eta) = \dfrac{f(\xi) - f(0)}{\xi} = \dfrac{1 - \xi}{\xi}$，以及存在 $\xi \in (\xi,1)$，使得 $f'(\xi) = \dfrac{f(1) - f(\xi)}{1 - \xi} = \dfrac{1 - (1 - \xi)}{1 - \xi} = \dfrac{\xi}{1 - \xi}$。
步骤 4：计算 $f'(\eta)f'(\xi)$
计算 $f'(\eta)f'(\xi) = \dfrac{1 - \xi}{\xi} \cdot \dfrac{\xi}{1 - \xi} = 1$。
构造辅助函数 $g(x) = f(x) + x - 1$，该函数在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $g(0) = -1 < 0$，$g(1) = 1 > 0$。
步骤 2：应用介值定理
根据介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g(\xi) = 0$，即 $f(\xi) + \xi - 1 = 0$，从而 $f(\xi) = 1 - \xi$。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (0,\xi)$，使得 $f'(\eta) = \dfrac{f(\xi) - f(0)}{\xi} = \dfrac{1 - \xi}{\xi}$，以及存在 $\xi \in (\xi,1)$，使得 $f'(\xi) = \dfrac{f(1) - f(\xi)}{1 - \xi} = \dfrac{1 - (1 - \xi)}{1 - \xi} = \dfrac{\xi}{1 - \xi}$。
步骤 4：计算 $f'(\eta)f'(\xi)$
计算 $f'(\eta)f'(\xi) = \dfrac{1 - \xi}{\xi} \cdot \dfrac{\xi}{1 - \xi} = 1$。