题目

一长圆柱状磁场,磁场方向沿轴线并垂直图面向里,磁场大小随到轴线的距离r,时间t均成正比变化,变化规律为=dfrac (3)(2pi )(B)_(0)tr,其中 =dfrac (3)(2pi )(B)_(0)tr为常数且=dfrac (3)(2pi )(B)_(0)tr0" data-width="62" data-height="22" data-size="904" data-format="png" style="">.若在磁场内放一半径a的金属圆环,环心在圆柱状磁场的轴线上,求金属环中的感生电动势大小与方向。=dfrac (3)(2pi )(B)_(0)tr

一长圆柱状磁场,磁场方向沿轴线并垂直图面向里,磁场大小随到轴线的距离r,时间t均成正比变化,变化规律为 $B=\frac{3}{2\pi}B_0tr$ ,其中 $B_0$ 为常数且 $B_0>0$ .若在磁场内放一半径a的金属圆环,环心在圆柱状磁场的轴线上,求金属环中的感生电动势大小与方向。

题目解答

答案

根据法拉第电磁感应定律，感生电动势 $\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}$ ，其中 $\Phi$ 是磁通量。

磁通量 $\Phi = BS = B \times \pi a^2$

$\begin{align*} B&=\frac{3}{2\pi}B_0tr\\ \Phi&=\frac{3}{2\pi}B_0tr \times \pi a^2 = \frac{3}{2}B_0 a^2 tr \end{align*}$

$\begin{align*} \varepsilon& = - \frac{d\Phi}{dt}\\ & = - \frac{d}{dt}(\frac{3}{2}B_0 a^2 tr)\\ & = - \frac{3}{2}B_0 a^2 r \end{align*}$

因为磁场大小随时间增大，根据楞次定律，感应电流产生的磁场要阻碍原磁场的变化，所以感应电动势的方向为逆时针方向。

综上，金属环中的感生电动势大小为 $\frac{3}{2}B_0 a^2 r$ ，方向为逆时针方向.

解析

步骤 1：确定磁通量
根据题目，磁场大小随到轴线的距离r和时间t均成正比变化，变化规律为$B=\dfrac {3}{2\pi }{B}_{0}tr$。金属圆环的半径为a，环心在圆柱状磁场的轴线上。因此，穿过金属圆环的磁通量$\Phi$为磁场B与圆环面积的乘积，即$\Phi =BS=B\times \pi {a}^{2}$。

步骤 2：计算磁通量随时间的变化率
将磁场B的表达式代入磁通量的表达式中，得到$\phi =\dfrac {3}{2\pi }{B}_{0}tr\times \pi {a}^{2}=\dfrac {3}{2}{B}_{0}{a}^{2}tr$。然后，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势$e=-\dfrac {d\Phi }{dt}$，计算磁通量随时间的变化率，即$e=-\dfrac {d}{dt}(\dfrac {3}{2}{B}_{0}{a}^{2}tr)$。

步骤 3：确定感生电动势的方向
根据楞次定律，感应电流产生的磁场要阻碍原磁场的变化。由于磁场大小随时间增大，感应电动势的方向为逆时针方向。