题目

当 k=______ 时 , 向量 β=(1,k,5) 能由向量 α1=(1,−3,2),α2=(2,−1,1) 线性表示。

题目解答

答案

考察由向量 β,α1,α2 组成的行列式：

当 ⎛⎝⎜1k51−322−11⎞⎠⎟=0 时，这三个向量是线性相关的，

从而： k=−8 ，

于是 β,α1,α2 线性相关，

又显然 α1,α2 线性无关，

所以 β 可用 α1,α2 线性表示，

故答案为： −8.

解析

步骤 1：确定线性表示的条件
向量 β 能由向量 α1 和 α2 线性表示，意味着存在实数 x 和 y，使得 β = xα1 + yα2。这等价于向量 β, α1, α2 线性相关，即由这三个向量组成的行列式等于零。

步骤 2：计算行列式
计算由向量 β, α1, α2 组成的行列式：
\[ \begin{vmatrix} 1 & k & 5 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \]

步骤 3：求解 k
将行列式展开，求解 k 的值：
\[ 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - k \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \]
\[ 1 \cdot ((-3) \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - k \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 5 \cdot (1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2) = 0 \]
\[ 1 \cdot (-3 + 2) - k \cdot (1 - 4) + 5 \cdot (-1 + 6) = 0 \]
\[ -1 + 3k + 25 = 0 \]
\[ 3k + 24 = 0 \]
\[ k = -8 \]