题目
函数 f(x,y)= e^x^2+y在点 (0,1)处沿方向 a = (1,1)的方向导数为:A. eB. (e)/(sqrt(2)) C. 2D. (1,1)
函数 $f(x,y)= e^{x^2+y}$在点 $(0,1)$处沿方向 $a = (1,1)$的方向导数为:
A. e
B. $$ $\frac{e}{\sqrt{2}}$ $$
C. 2
D. (1,1)
题目解答
答案
B. $$ $\frac{e}{\sqrt{2}}$ $$
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)= e^{x^2+y}$ 在点 $(0,1)$ 处的偏导数。偏导数分别对 $x$ 和 $y$ 求导。
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^{x^2+y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^2+y}
$$
步骤 2：计算梯度
在点 $(0,1)$ 处，偏导数的值为：
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) = e
$$
因此，梯度为：
$$
\nabla f(0,1) = (0, e)
$$
步骤 3：计算方向导数
方向导数是梯度与方向向量的点积。方向向量 $a = (1,1)$ 需要单位化，即：
$$
\hat{a} = \frac{a}{\|a\|} = \frac{(1,1)}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{(1,1)}{\sqrt{2}}
$$
方向导数为：
$$
D_{\hat{a}}f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot \hat{a} = (0, e) \cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = \frac{e}{\sqrt{2}}
$$
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)= e^{x^2+y}$ 在点 $(0,1)$ 处的偏导数。偏导数分别对 $x$ 和 $y$ 求导。
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^{x^2+y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^2+y}
$$
步骤 2：计算梯度
在点 $(0,1)$ 处，偏导数的值为：
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) = e
$$
因此，梯度为：
$$
\nabla f(0,1) = (0, e)
$$
步骤 3：计算方向导数
方向导数是梯度与方向向量的点积。方向向量 $a = (1,1)$ 需要单位化，即：
$$
\hat{a} = \frac{a}{\|a\|} = \frac{(1,1)}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{(1,1)}{\sqrt{2}}
$$
方向导数为：
$$
D_{\hat{a}}f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot \hat{a} = (0, e) \cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = \frac{e}{\sqrt{2}}
$$