题目

设三阶方阵A有3个特征值2,1，-3，则的特征值为_________

设三阶方阵A有3个特征值2,1，-3，则 $A^2$ 的特征值为_________

题目解答

答案

已知三阶方阵A有3个特征值2,1，-3，根据特征值得性质可知，矩阵多项式仍为矩阵，而其多项式的矩阵的特征值就是最初特征值的多项式结果。

$2^2=4,1^2=1，(-3)^2=9$

故 $A^2$ 的特征值为4,1,9

解析

步骤 1：理解特征值的性质
特征值的性质之一是，如果矩阵A有特征值λ，那么矩阵多项式f(A)的特征值为f(λ)。这里，f(A) = A^2，所以f(λ) = λ^2。

步骤 2：计算特征值的平方
对于给定的特征值2, 1, -3，我们分别计算它们的平方。
- 对于特征值2，其平方为2^2 = 4。
- 对于特征值1，其平方为1^2 = 1。
- 对于特征值-3，其平方为(-3)^2 = 9。

步骤 3：确定矩阵A^2的特征值
根据步骤2的计算结果，矩阵A^2的特征值为4, 1, 9。