题目
双曲线(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. (x^2)/(8)-(y^2)/(2)=1B. (x^2)/(4)-(y^2)/(8)=1C. (x^2)/(2)-(y^2)/(8)=1D. (x^2)/(8)-(y^2)/(4)=1
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F1、F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
- A. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$
- B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
- C. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$
- D. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
题目解答
答案
解：根据题意，画出图形，如下图：
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m-n=2a,
因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，
所以m2+n2=（2c）2=4c2，$\frac{1}{2}mn$=8，
因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P=$\frac{m}{n}$=2，
所以m=2n,
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=2n}\\{\frac{1}{2}mn=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4\sqrt{2}}\\{n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以2a=m-n=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
所以4c2=m2+n2=40，即c2=10，
所以b2=c2-a2=10-2=8，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故选：C．
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m-n=2a,
因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，
所以m2+n2=（2c）2=4c2，$\frac{1}{2}mn$=8，
因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P=$\frac{m}{n}$=2，
所以m=2n,
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=2n}\\{\frac{1}{2}mn=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4\sqrt{2}}\\{n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以2a=m-n=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
所以4c2=m2+n2=40，即c2=10，
所以b2=c2-a2=10-2=8，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故选：C．
解析
步骤 1：确定直角三角形的性质
根据题意，△PF_1F_2是面积为8的直角三角形，且直线PF_2的斜率为2。设|PF_1|=m,|PF_2|=n,则m-n=2a。因为△PF_1F_2是直角三角形，所以m^{2}+n^{2}=（2c）^{2}=4c^{2}，$\frac{1}{2}mn$=8。因为直线PF_2的斜率为2，所以tan∠F_1F_2P=$\frac{m}{n}$=2，所以m=2n。
步骤 2：求解m和n
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=2n}\\{\frac{1}{2}mn=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4\sqrt{2}}\\{n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$。
步骤 3：求解a和c
因为m-n=2a，所以2a=m-n=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$。因为4c^{2}=m^{2}+n^{2}=40，即c^{2}=10。
步骤 4：求解b
因为b^{2}=c^{2}-a^{2}=10-2=8，所以b^{2}=8。
步骤 5：确定双曲线方程
根据a^{2}=2，b^{2}=8，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1。
根据题意，△PF_1F_2是面积为8的直角三角形，且直线PF_2的斜率为2。设|PF_1|=m,|PF_2|=n,则m-n=2a。因为△PF_1F_2是直角三角形，所以m^{2}+n^{2}=（2c）^{2}=4c^{2}，$\frac{1}{2}mn$=8。因为直线PF_2的斜率为2，所以tan∠F_1F_2P=$\frac{m}{n}$=2，所以m=2n。
步骤 2：求解m和n
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=2n}\\{\frac{1}{2}mn=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4\sqrt{2}}\\{n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$。
步骤 3：求解a和c
因为m-n=2a，所以2a=m-n=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$。因为4c^{2}=m^{2}+n^{2}=40，即c^{2}=10。
步骤 4：求解b
因为b^{2}=c^{2}-a^{2}=10-2=8，所以b^{2}=8。
步骤 5：确定双曲线方程
根据a^{2}=2，b^{2}=8，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1。