设函数f(x)存在二阶导数,f(x),试求f(x)

考查要点：本题主要考查利用导数的定义及洛必达法则求解极限，同时涉及泰勒展开的应用。

解题核心思路：
题目给出函数在$x=0$处的函数值及一、二阶导数值，要求计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-x}{{x}^{2}}$。由于直接代入$x=0$会导致$\dfrac{0}{0}$型不定式，需通过洛必达法则或泰勒展开展开函数$f(x)$至二阶项，进而化简求解。

破题关键点：

1. 识别不定式类型：分子$f(x)-x$和分母$x^2$在$x=0$处均为0，属于$\dfrac{0}{0}$型，可应用洛必达法则。
2. 多次应用洛必达法则：需连续两次对分子分母求导，最终利用已知的二阶导数值$f''(0)=2$求解。
3. 泰勒展开的替代思路：将$f(x)$展开至二阶项，直接代入化简，避免重复求导。

方法一：洛必达法则

1. 第一次应用洛必达法则：
   原式为$\dfrac{0}{0}$型，对分子分母分别求导：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-x}{{x}^{2}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)-1}{2x}$
   此时分子$f'(x)-1$在$x=0$处仍为0，分母$2x$也为0，继续应用洛必达法则。

2. 第二次应用洛必达法则：
   对分子分母再次求导：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)-1}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f''(x)}{2}$
   代入已知条件$f''(0)=2$，得：
   $\dfrac{f''(0)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

方法二：泰勒展开

将$f(x)$在$x=0$处展开至二阶项：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = x + x^2 + o(x^2)$
代入原式：
$\dfrac{f(x)-x}{x^2} = \dfrac{x + x^2 + o(x^2) - x}{x^2} = \dfrac{x^2 + o(x^2)}{x^2} = 1 + o(1)$
当$x \rightarrow 0$时，$o(1) \rightarrow 0$，故极限为$1$。