1.41 若函数z=z(x,y)的全微分dz=sinydx+xcosydy，则二阶偏导数(partial^2z)/(partial xpartial y)=（）A. -sinxB. sin yC. cosxD. cosy

考查要点：本题主要考查全微分与偏导数的关系，以及二阶混合偏导数的计算方法。

解题核心思路：

1. 根据全微分表达式确定一阶偏导数：利用全微分公式 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，直接比较系数得到 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
2. 计算二阶混合偏导数：通过两种方式验证结果的一致性（对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 先对 $y$ 求导，或对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 先对 $x$ 求导），确保计算正确。

破题关键点：

• 正确识别全微分中的偏导数项。
• 掌握二阶混合偏导数的连续性条件（Clairaut定理），即若二阶偏导数连续，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$。

1. 确定一阶偏导数
   根据全微分公式 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，与题目给出的 $dz = \sin y \, dx + x \cos y \, dy$ 对比，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial x} = \sin y, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x \cos y.$

2. 计算二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

   • 方法一：对 $\frac{\partial z}{\partial x} = \sin y$ 先对 $y$ 求导：
     $\frac{\partial}{\partial y} \left( \sin y \right) = \cos y.$
   • 方法二：对 $\frac{\partial z}{\partial y} = x \cos y$ 先对 $x$ 求导：
     $\frac{\partial}{\partial x} \left( x \cos y \right) = \cos y.$
     两种方法结果一致，均为 $\cos y$。