三、计算题(本大题共6小题，共46分)15、某研究人员研究某种疾病与个体基因间的关系，个体中有4人患有该疾病，有6人没有患病.由于基因检测非常昂贵，研究人员不能对所有个体做检测.按放回抽样和不放回抽样，从10个个体中随机抽取2人.则这2人中有一人患病的概率分别是多少?(8分)

本题考查古典概型概率的计算，解题思路是分别计算放回抽样和不放回抽样时，从$10$个个体中随机抽取$2$人，这$2$人中有一人患病的概率。

放回抽样情况

• 计算所有可能的抽取方式：
  因为是放回抽样，每次抽取都有$10$种可能，根据分步乘法计数原理，抽取$2$次总的方式数为$n = 10\times10=100$种。
• 计算有一人患病的组合数：
  “有一人患病”包含两种情况：第一种是第一次抽到患病者，第二次抽到未患病者；第二种是第一次抽到未患病者，第二次抽到患病者。
  已知有$4$人患病，$6$人未患病，根据分步乘法计数原理，第一种情况的组合数为$4\times6$种，第二种情况的组合数为$6\times4$种。
  所以有一人患病的组合数$m = 4\times6 + 6\times4=24 + 24 = 48$种。
• 计算概率：
  根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数），可得有一人患病的概率$P_1=\frac{48}{100}=0.48$。

不放回抽样情况

• 计算所有可能的抽取方式：
  因为是不放回抽样，第一次抽取有$10$种可能，第二次抽取有$9$种可能，根据分步乘法计数原理，抽取$2$次总的方式数为$n'=10\times9 = 90$种。
• 计算有一人患病的组合数：
  同样“有一人患病”包含两种情况：第一种是第一次抽到患病者，第二次抽到未患病者；第二种是第一次抽到未患病者，第二次抽到患病者。
  根据分步乘法计数原理，第一种情况的组合数为$4\times6$种，第二种情况的组合数为$6\times4$种。
  所以有一人患病的组合数$m' = 4\times6+6\times4 = 48$种。
• 计算概率：
  根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，可得有一人患病的概率$P_2=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}$。