题目
12. (6.0分) lim_(xto0)(tan4x)/(2x)=
12. (6.0分) $\lim_{x\to0}\frac{\tan4x}{2x}=$
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小替换 $\tan 4x \sim 4x$，原极限变为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2
\]
或者使用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^2 4x}{2} = 2 \sec^2 0 = 2
\]
答案：$\boxed{2}$
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\tan 4x \sim 4x$，即 $\tan 4x$ 和 $4x$ 在 $x \to 0$ 时是等价无穷小。
步骤 2：替换并简化
将 $\tan 4x$ 替换为 $4x$，原极限变为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2 \]
步骤 3：验证
也可以使用洛必达法则验证： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^2 4x}{2} = 2 \sec^2 0 = 2 \]
当 $x \to 0$ 时，$\tan 4x \sim 4x$，即 $\tan 4x$ 和 $4x$ 在 $x \to 0$ 时是等价无穷小。
步骤 2：替换并简化
将 $\tan 4x$ 替换为 $4x$，原极限变为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2 \]
步骤 3：验证
也可以使用洛必达法则验证： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^2 4x}{2} = 2 \sec^2 0 = 2 \]