2.10 求 ln (-i), (-3+4i) 和它们的主值 .

步骤 1：计算 $\ln(-i)$
首先，我们需要将复数 $-i$ 表示为极坐标形式。复数 $-i$ 的模为 $|-i| = 1$，其幅角为 $-\frac{\pi}{2}$。因此，$-i$ 可以表示为 $e^{i(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$，其中 $k$ 是整数。因此，$\ln(-i)$ 可以表示为：
$$
\ln(-i) = \ln(1) + i(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = i(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi)
$$
其中，$k$ 是整数。主值是当 $k=0$ 时的值，即 $-\frac{\pi}{2}i$。

步骤 2：计算 $\ln(-3+4i)$
首先，我们需要将复数 $-3+4i$ 表示为极坐标形式。复数 $-3+4i$ 的模为 $|-3+4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$，其幅角为 $\arctan(\frac{4}{-3}) = \arctan(-\frac{4}{3})$。因此，$-3+4i$ 可以表示为 $5e^{i(\arctan(-\frac{4}{3}) + 2k\pi)}$，其中 $k$ 是整数。因此，$\ln(-3+4i)$ 可以表示为：
$$
\ln(-3+4i) = \ln(5) + i(\arctan(-\frac{4}{3}) + 2k\pi)
$$
其中，$k$ 是整数。主值是当 $k=0$ 时的值，即 $\ln(5) + i\arctan(-\frac{4}{3})$。