题目

2.lim_(n to infty) (n^99)/(n^100) - (n-1)^(100) = _cdot

2.$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{n^{100} - (n-1)^{100}} = \_\cdot$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{n^{100} - (n-1)^{100}}$，我们首先需要简化分母 $n^{100} - (n-1)^{100}$。可以使用二项式展开来近似 $(n-1)^{100}$。 二项式展开公式为： \[ (n-1)^{100} = n^{100} - \binom{100}{1} n^{99} + \binom{100}{2} n^{98} - \cdots + (-1)^{100} \] 对于 $n$ 趋于无穷大时，高阶项 $n^{98}, n^{97}, \ldots, 1$ 相比 $n^{100}$ 和 $n^{99}$ 可以忽略不计。因此，我们可以近似： \[ (n-1)^{100} \approx n^{100} - 100 n^{99} \] 将这个近似代入分母，得到： \[ n^{100} - (n-1)^{100} \approx n^{100} - (n^{100} - 100 n^{99}) = 100 n^{99} \] 现在，原极限可以近似为： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{n^{100} - (n-1)^{100}} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{100 n^{99}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{100} = \frac{1}{100} \] 因此，极限的值为： \[ \boxed{\frac{1}{100}} \]

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理高阶多项式表达式的化简技巧。关键在于分母的展开与近似处理，利用二项式定理或导数的线性近似思想简化表达式。

解题核心思路：
当$n$趋向于无穷大时，分母$n^{100} - (n-1)^{100}$中的高阶小项可以忽略，只需保留前两项展开。通过二项式展开或导数近似，将分母近似为$100n^{99}$，从而快速求出极限值。

破题关键点：

  1. 识别分母的结构，发现需要展开$(n-1)^{100}$。
  2. 忽略高阶小项，保留主导项进行近似。
  3. 约分简化，分子和分母中的$n^{99}$项抵消，直接得到结果。

步骤1：展开分母
利用二项式定理展开$(n-1)^{100}$：
$(n-1)^{100} = n^{100} - \binom{100}{1}n^{99} + \binom{100}{2}n^{98} - \cdots + (-1)^{100}$
当$n$很大时，高阶小项（如$n^{98}$及以下）可忽略，因此近似为：
$(n-1)^{100} \approx n^{100} - 100n^{99}$

步骤2：化简分母
将展开式代入分母：
$n^{100} - (n-1)^{100} \approx n^{100} - (n^{100} - 100n^{99}) = 100n^{99}$

步骤3：代入原式并计算极限
原式化简为：
$\frac{n^{99}}{100n^{99}} = \frac{1}{100}$
因此，极限值为$\frac{1}{100}$。