题目
直线 L: (x-2)/(3) = (y+2)/(-1) = (z-1)/(4) 与平面 pi: 6x-2y+8z=7 的位置关系是()A. 直线 L 与平面 pi 平行;B. 直线 L 与平面 pi 垂直;C. 直线 L 在平面 pi 上;D. 直线 L 与平面 pi 只有一个交点，但不垂直。
直线 $L: \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-1}{4}$ 与平面 $\pi: 6x-2y+8z=7$ 的位置关系是()
A. 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 平行;
B. 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 垂直;
C. 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上;
D. 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 只有一个交点，但不垂直。
题目解答
答案
B. 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 垂直;
解析
步骤 1：确定直线 $L$ 的方向向量
直线 $L$ 的方程为 $\frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-1}{4}$，因此直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{d} = (3, -1, 4)$。
步骤 2：确定平面 $\pi$ 的法向量
平面 $\pi$ 的方程为 $6x-2y+8z=7$，因此平面 $\pi$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (6, -2, 8)$。
步骤 3：判断直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的位置关系
观察发现 $\mathbf{n} = 2 \mathbf{d}$，即法向量与方向向量平行。根据几何关系，当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。因此，直线 $L$ 与平面 $\pi$ 垂直。
直线 $L$ 的方程为 $\frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-1}{4}$，因此直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{d} = (3, -1, 4)$。
步骤 2：确定平面 $\pi$ 的法向量
平面 $\pi$ 的方程为 $6x-2y+8z=7$，因此平面 $\pi$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (6, -2, 8)$。
步骤 3：判断直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的位置关系
观察发现 $\mathbf{n} = 2 \mathbf{d}$，即法向量与方向向量平行。根据几何关系，当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。因此，直线 $L$ 与平面 $\pi$ 垂直。