题目
设1 1 1 1-|||-2 4 3 1-|||-3 5 2 4-|||-4 6 3 5，则齐次线性方程组1 1 1 1-|||-2 4 3 1-|||-3 5 2 4-|||-4 6 3 5的解空间的维数为（ ）。A.3B.2C.4D.1
设
，则齐次线性方程组
的解空间的维数为（ ）。
A.3
B.2
C.4
D.1
题目解答
答案
对系数矩阵
进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可得
，非零行的行数为3，故矩阵的秩为
。
由于为四阶方阵，则方程组中未知数的个数为
。根据齐次线性方程组解的结构定理，可得齐次线性方程组的解空间的维数为
，故应选D选项。
解析
步骤 1：化简系数矩阵
对系数矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可得$11$ $11$ $11$ 1 1 A= $24$ $31$ ${r}_{2}-2{r}_{1}$ $0\quad 2$ 1 . -1 $35$ $24$ ${r}_{3}-3{r}_{1}$ $0\quad 2$ -1 1 $46$ $35$ $46$ 3 5$11$ 1 1 $11$ 1 1 ${r}^{4}-4{r}^{2}1$ $0\quad 2$ 1 -1 ${r}_{3}-{r}_{2}$ 0 2 1 -1 → $0\quad 2$ -1 1 ${r}_{4}-{r}_{2}$ $0\quad 0$ -2 2 0 2 -1 1 $00$ -2 2$11$ 1 1 ${r}^{4}-73$ $0\quad 2$ 1 -1 → $0\quad 0$ .-2 2 0 0 0 0，非零行的行数为3，故矩阵的秩为R(A)=3。
步骤 2：确定解空间的维数
由于为四阶方阵，则方程组中未知数的个数为$b=2$。根据齐次线性方程组解的结构定理，可得齐次线性方程组$Ax=0$的解空间的维数为$\lim _{x\rightarrow \infty }{x}_{2}=-2(x)=4-3=1$。
对系数矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可得$11$ $11$ $11$ 1 1 A= $24$ $31$ ${r}_{2}-2{r}_{1}$ $0\quad 2$ 1 . -1 $35$ $24$ ${r}_{3}-3{r}_{1}$ $0\quad 2$ -1 1 $46$ $35$ $46$ 3 5$11$ 1 1 $11$ 1 1 ${r}^{4}-4{r}^{2}1$ $0\quad 2$ 1 -1 ${r}_{3}-{r}_{2}$ 0 2 1 -1 → $0\quad 2$ -1 1 ${r}_{4}-{r}_{2}$ $0\quad 0$ -2 2 0 2 -1 1 $00$ -2 2$11$ 1 1 ${r}^{4}-73$ $0\quad 2$ 1 -1 → $0\quad 0$ .-2 2 0 0 0 0，非零行的行数为3，故矩阵的秩为R(A)=3。
步骤 2：确定解空间的维数
由于为四阶方阵，则方程组中未知数的个数为$b=2$。根据齐次线性方程组解的结构定理，可得齐次线性方程组$Ax=0$的解空间的维数为$\lim _{x\rightarrow \infty }{x}_{2}=-2(x)=4-3=1$。