题目

设随机变量 X 服从参数为 lambda 的 Poisson 分布，且已知 E[(X-1)(X-2)]=1，则 lambda= ________；

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson 分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$，则 $\lambda=$ ________；

题目解答

答案

我们已知随机变量 $ X $ 服从参数为 $ \lambda $ 的 泊松分布（Poisson distribution），即：

$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$

且已知：

$\mathbb{E}[(X-1)(X-2)] = 1$

要求解 $ \lambda $ 的值。

第一步：展开期望表达式

我们先对表达式 $ (X-1)(X-2) $ 进行代数展开：

$(X-1)(X-2) = X^2 - 3X + 2$

所以，

$\mathbb{E}[(X-1)(X-2)] = \mathbb{E}[X^2 - 3X + 2] = \mathbb{E}[X^2] - 3\mathbb{E}[X] + 2$

第二步：利用泊松分布的性质

对于泊松分布 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $，我们有：

  • $ \mathbb{E}[X] = \lambda $
  • $ \text{Var}(X) = \lambda $

而方差和二阶矩的关系是：

$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \Rightarrow \mathbb{E}[X^2] = \text{Var}(X) + (\mathbb{E}[X])^2 = \lambda + \lambda^2$

第三步：代入期望表达式

将上面的结果代入：

$\mathbb{E}[(X-1)(X-2)] = \mathbb{E}[X^2] - 3\mathbb{E}[X] + 2 = (\lambda + \lambda^2) - 3\lambda + 2$

化简：

$\lambda + \lambda^2 - 3\lambda + 2 = \lambda^2 - 2\lambda + 2$

根据题设，这个期望等于 1：

$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 1$

第四步：解方程

$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 1 \Rightarrow \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$

$(\lambda - 1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$

最终答案：

$\boxed{1}$

✅ 答： $ \lambda = \boxed{1} $

解析

本题考查泊松分布的期望和方差性质以及期望的运算性质。解题思路是先将给定的期望表达式展开，再利用泊松分布期望和方差的性质求出展开式中各项的值，代入后得到关于参数 $\lambda$ 的方程，最后求解该方程得到 $\lambda$ 的值。

  1. 展开期望表达式：
    对表达式 $(X - 1)(X - 2)$ 进行代数展开，根据多项式乘法法则 $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
    $(X - 1)(X - 2)=X^2-2X - X + 2=X^2 - 3X + 2$
    根据期望的线性性质 $E(aY + bZ + c)=aE(Y)+bE(Z)+c$（其中 $a,b,c$ 为常数，$Y,Z$ 为随机变量），则有：
    $E[(X - 1)(X - 2)] = E[X^2 - 3X + 2]=E[X^2]-3E[X]+2$
  2. 利用泊松分布的性质：
    对于服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布 $X\sim Poisson(\lambda)$，其期望和方差都等于参数 $\lambda$，即 $E[X] = \lambda$，$Var(X)=\lambda$。
    又因为方差的计算公式为 $Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2$，移项可得二阶矩的表达式：
    $E[X^2]=Var(X)+(E[X])^2$
    将 $E[X] = \lambda$，$Var(X)=\lambda$ 代入上式，得到：
    $E[X^2]=\lambda+\lambda^2$
  3. 代入期望表达式：
    将 $E[X^2]=\lambda+\lambda^2$ 和 $E[X] = \lambda$ 代入 $E[(X - 1)(X - 2)] = E[X^2]-3E[X]+2$ 中，可得：
    $E[(X - 1)(X - 2)]=(\lambda+\lambda^2)-3\lambda + 2$
    对其进行化简：
    $(\lambda+\lambda^2)-3\lambda + 2=\lambda^2-2\lambda + 2$
    已知 $E[(X - 1)(X - 2)] = 1$，所以有：
    $\lambda^2-2\lambda + 2 = 1$
  4. 解方程：
    将方程 $\lambda^2-2\lambda + 2 = 1$ 移项化为标准的一元二次方程形式：
    $\lambda^2-2\lambda + 1 = 0$
    根据完全平方公式 $(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，上式可化为：
    $(\lambda - 1)^2 = 0$
    解得：
    $\lambda = 1$