9.设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，f(a)=a，f(b)=b，且f(x)≠0，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ使得f(ξ)=ξ·f'(ξ).
题目解答
答案
定义辅助函数 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$，则 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。
计算得 $g(a) = \frac{f(a)}{a} = 1$，$g(b) = \frac{f(b)}{b} = 1$，即 $g(a) = g(b)$。
由罗尔中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $g'(\xi) = 0$。
求导得 $g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$，令 $g'(\xi) = 0$，得 $\xi f'(\xi) - f(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = \xi f'(\xi)$。
结论： 在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = \xi f'(\xi)$。
$\boxed{f(\xi) = \xi f'(\xi)}$
解析
本题考察罗尔中值定理的应用，关键是通过构造合适的辅助函数将待证结论转化为罗尔中值定理的条件。
步骤1：分析待证结论
待证结论为：存在$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi) = \xi f'(\xi)$，可变形为$\xi f'(\xi) - f(\xi) = 0$。观察该式，若构造一个函数$g(x)$，使其导数$g'(x)$恰好为$\frac{\xi f'(\xi) - f(\xi)}{\xi^2}$（分母$\xi^2$不影响零点存在性，因$\xi \in (a,b)$且$f(x) \neq 0$，但$x$在区间内非零），则可通过罗尔中值定理证明$g'(\xi)=0$。
步骤2：构造辅助函数
设$g(x) = \frac{f(x)}{x}$，验证其满足罗尔中值定理条件：
- 连续性：$f(x)$在$[a,b]$连续，$x \in [a,b]$非零（$a,b$未明确是否为0，但$f(a)=a,f(b)=b$，若$a=0$则$f(0)=0$矛盾，故$a,b \neq 0$），故$g(x)$在$[a,b]$连续；
- 可导性：$f(x)$在$(a,b)$可导，故$g(x)$在$(a,b)$可导，且$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$。
步骤3：验证$g(a)=g(b)$
由$f(a)=a$，得$g(a)=\frac{f(a)}{a}=\frac{a}{a}=1$；由$f(b)=b$，得$g(b)=\frac{f(b)}{b}=\frac{b}{b}=1$，故$g(a)=g(b)$。
步骤4：应用罗尔中值定理
因$g(x)$满足罗尔中值定理条件，存在$\xi \in (a,b)$使得$g'(\xi)=0$，即：
$g'(\xi) = \frac{\xi f'(\xi) - f(\xi)}{\xi^2} = 0$
因$\xi^2 \neq 0$，故$\xi f'(\xi) - f(\xi)=0$，即$f(\xi)=\xi f'(\xi)$。