题目
有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次(1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？(2）某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）
有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次
(1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
(2）某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）
题目解答
答案
（1）某人随机去猜，从8杯中挑取4杯共有
种取法，其中只有一种是正确的．
故若某人随机去猜，试验成功一次的概率是
(2）为判断某人是否有区分能力，先假设："某人无区分能力"，由（1）他猜对一次的概率为
，连续试验10次，则猜对次数
．
今
不仅如此，
即试验10次，他猜对次数≥3的概率也仅为万分之三．今事件
竟然发生了，按实际推断原理，应否定原假设"某人无区分能力"，而认为他确有区分能力．
解析
步骤 1：计算随机猜对的概率
从8杯酒中随机挑出4杯，总共有$C_8^4$种挑法，其中只有一种是全部挑出甲种酒的挑法。因此，随机猜对的概率为$P=\dfrac{1}{C_8^4}$。
步骤 2：计算$C_8^4$
$C_8^4=\dfrac{8!}{4!(8-4)!}=\dfrac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70$。
步骤 3：计算随机猜对的概率
$P=\dfrac{1}{70}$。
步骤 4：计算10次试验中成功3次的概率
假设某人无区分能力，他每次试验成功（即随机猜对）的概率为$\dfrac{1}{70}$，则10次试验中成功3次的概率为$P(X=3)$，其中$X$服从二项分布$B(10,\dfrac{1}{70})$。$P(X=3)=C_{10}^3(\dfrac{1}{70})^3(1-\dfrac{1}{70})^{10-3}$。
步骤 5：计算$P(X=3)$
$P(X=3)=C_{10}^3(\dfrac{1}{70})^3(1-\dfrac{1}{70})^{10-3}=\dfrac{10!}{3!(10-3)!}(\dfrac{1}{70})^3(\dfrac{69}{70})^7=3.16\times10^{-4}$。
步骤 6：计算$P(X\geq3)$
$P(X\geq3)=1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$。其中$P(X=0)=C_{10}^0(\dfrac{1}{70})^0(1-\dfrac{1}{70})^{10-0}$，$P(X=1)=C_{10}^1(\dfrac{1}{70})^1(1-\dfrac{1}{70})^{10-1}$，$P(X=2)=C_{10}^2(\dfrac{1}{70})^2(1-\dfrac{1}{70})^{10-2}$。$P(X\geq3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))=3.24\times10^{-4}$。
步骤 7：判断某人是否有区分能力
由于$P(X\geq3)=3.24\times10^{-4}$，即试验10次，他猜对次数≥3的概率仅为万分之三。今事件$\{X\geq3\}$竟然发生了，按实际推断原理，应否定原假设"某人无区分能力"，而认为他确有区分能力。
从8杯酒中随机挑出4杯，总共有$C_8^4$种挑法，其中只有一种是全部挑出甲种酒的挑法。因此，随机猜对的概率为$P=\dfrac{1}{C_8^4}$。
步骤 2：计算$C_8^4$
$C_8^4=\dfrac{8!}{4!(8-4)!}=\dfrac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70$。
步骤 3：计算随机猜对的概率
$P=\dfrac{1}{70}$。
步骤 4：计算10次试验中成功3次的概率
假设某人无区分能力，他每次试验成功（即随机猜对）的概率为$\dfrac{1}{70}$，则10次试验中成功3次的概率为$P(X=3)$，其中$X$服从二项分布$B(10,\dfrac{1}{70})$。$P(X=3)=C_{10}^3(\dfrac{1}{70})^3(1-\dfrac{1}{70})^{10-3}$。
步骤 5：计算$P(X=3)$
$P(X=3)=C_{10}^3(\dfrac{1}{70})^3(1-\dfrac{1}{70})^{10-3}=\dfrac{10!}{3!(10-3)!}(\dfrac{1}{70})^3(\dfrac{69}{70})^7=3.16\times10^{-4}$。
步骤 6：计算$P(X\geq3)$
$P(X\geq3)=1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$。其中$P(X=0)=C_{10}^0(\dfrac{1}{70})^0(1-\dfrac{1}{70})^{10-0}$，$P(X=1)=C_{10}^1(\dfrac{1}{70})^1(1-\dfrac{1}{70})^{10-1}$，$P(X=2)=C_{10}^2(\dfrac{1}{70})^2(1-\dfrac{1}{70})^{10-2}$。$P(X\geq3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))=3.24\times10^{-4}$。
步骤 7：判断某人是否有区分能力
由于$P(X\geq3)=3.24\times10^{-4}$，即试验10次，他猜对次数≥3的概率仅为万分之三。今事件$\{X\geq3\}$竟然发生了，按实际推断原理，应否定原假设"某人无区分能力"，而认为他确有区分能力。