题目
20.在 Delta ABC 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, (sin )^2A+(sin )^2B=|sin C-dfrac (2sqrt {3)}(3)sin Asin B|sin C-|||-(1)求角;-|||-(2)若 =sqrt (19), 边AB上的中线 =dfrac (sqrt {7)}(2). 求边a,b的长.
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用正弦定理
由正弦定理，我们有 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B=|\sin C-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}\sin A\sin B|\sin C$ 可以转化为 ${a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}ab\sin C$ 。
步骤 2：利用余弦定理
根据余弦定理，我们有 $\cos C=\dfrac {{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ 。将步骤1中的等式代入，得到 $2ab\cos C=-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}ab\sin C$ 。
步骤 3：求解角C
由 $2ab\cos C=-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}ab\sin C$ 可得 $\tan C=-\sqrt {3}$ 。因为 $C\in (0,\pi )$ ，所以 $C=\dfrac {2\pi }{3}$ 。
步骤 4：利用余弦定理求解a和b
因为 $C=\dfrac {2\pi }{3}$ ，由余弦定理得到 ${a}^{2}+{b}^{2}+ab=19$ 。再由 $\angle CDB+\angle CDA=\pi$ 得到 $\cos \angle CDB+\cos \angle CDA=0$ 。结合余弦定理得到 ${a}^{2}+{b}^{2}=13$ 。解得 a=3 或 a=2，b=3 。
由正弦定理，我们有 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B=|\sin C-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}\sin A\sin B|\sin C$ 可以转化为 ${a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}ab\sin C$ 。
步骤 2：利用余弦定理
根据余弦定理，我们有 $\cos C=\dfrac {{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ 。将步骤1中的等式代入，得到 $2ab\cos C=-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}ab\sin C$ 。
步骤 3：求解角C
由 $2ab\cos C=-\dfrac {2\sqrt {3}}{3}ab\sin C$ 可得 $\tan C=-\sqrt {3}$ 。因为 $C\in (0,\pi )$ ，所以 $C=\dfrac {2\pi }{3}$ 。
步骤 4：利用余弦定理求解a和b
因为 $C=\dfrac {2\pi }{3}$ ，由余弦定理得到 ${a}^{2}+{b}^{2}+ab=19$ 。再由 $\angle CDB+\angle CDA=\pi$ 得到 $\cos \angle CDB+\cos \angle CDA=0$ 。结合余弦定理得到 ${a}^{2}+{b}^{2}=13$ 。解得 a=3 或 a=2，b=3 。