一气球以匀速率(v)_(0)从地面上升。由于风的影响，它获得了一个水平速度(v)_(x)=by（b为常量，y为上升高度）。以气球出发点为坐标系原点。向上为y轴正向。水平沿风向为x轴正向。求：（1）气球的运动方程。（2）气球的轨迹方程。

考查要点：本题主要考查变速度运动的运动方程求解及轨迹方程的建立，涉及微分方程的积分和参数方程消元法。

解题核心思路：

1. 确定各方向速度表达式：竖直方向匀速运动，水平速度与高度相关，需将高度表示为时间的函数。
2. 积分求位移：对水平速度关于时间积分得到水平位移，结合竖直方向的位移方程，得到运动方程。
3. 消去时间参数：利用竖直方向的位移表达式消去时间，得到轨迹方程。

破题关键点：

• 速度与时间的关系：水平速度 $v_x = b y$，而 $y = v_0 t$，因此 $v_x$ 实际是时间的函数。
• 积分处理：对 $dx/dt = b v_0 t$ 积分时，需注意积分上下限和初始条件。

第（1）题：气球的运动方程

确定竖直方向位移

气球竖直方向以匀速率 $v_0$ 上升，位移为：
$y = v_0 t$

确定水平方向速度

水平速度 $v_x = b y$，代入 $y = v_0 t$ 得：
$v_x = b v_0 t$

积分求水平位移

对水平速度积分：
$\int_{0}^{x} dx = \int_{0}^{t} b v_0 t \, dt$
计算得：
$x = \frac{1}{2} b v_0 t^2$

运动方程

综合水平和竖直方向位移，运动方程为：
$\begin{cases}x = \dfrac{1}{2} b v_0 t^2 \\y = v_0 t\end{cases}$

第（2）题：气球的轨迹方程

消去时间参数 $t$

由竖直方向位移 $y = v_0 t$ 得：
$t = \dfrac{y}{v_0}$

代入水平位移表达式

将 $t = \dfrac{y}{v_0}$ 代入 $x = \dfrac{1}{2} b v_0 t^2$：
$x = \dfrac{1}{2} b v_0 \left( \dfrac{y}{v_0} \right)^2 = \dfrac{b}{2 v_0} y^2$