题目
在△ ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c,dfrac (sin A)(sin B)=dfrac (3)(5),dfrac (sin A)(sin B)=dfrac (3)(5),c=7,则△ ABC的面积()A.dfrac (sin A)(sin B)=dfrac (3)(5) B.dfrac (sin A)(sin B)=dfrac (3)(5) C.dfrac (sin A)(sin B)=dfrac (3)(5) D.dfrac (sin A)(sin B)=dfrac (3)(5)
在△ ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c,
,
,c=7,则△ ABC的面积()
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
解：因为在△ ABC中，
所以由正弦定理得
，即
.
又因为,c=7，
由余弦定理得
.
解出b=5,a=3.
所以△ ABC的面积为
.
故选A。
解析
步骤 1：利用正弦定理
根据正弦定理，$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，所以$\dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}$，即$a = \dfrac{3}{5}b$。
步骤 2：利用余弦定理
根据余弦定理，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，代入$c = 7$，$C = \dfrac{2\pi}{3}$，$\cos C = -\dfrac{1}{2}$，得到$49 = \dfrac{9}{25}b^2 + b^2 - 2 \times \dfrac{3}{5}b \times b \times (-\dfrac{1}{2})$。
步骤 3：解方程求b
化简方程$49 = \dfrac{9}{25}b^2 + b^2 + \dfrac{3}{5}b^2$，得到$49 = \dfrac{9 + 25 + 15}{25}b^2 = \dfrac{49}{25}b^2$，解得$b^2 = 25$，所以$b = 5$，进而$a = \dfrac{3}{5}b = 3$。
步骤 4：计算面积
根据三角形面积公式$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$，代入$a = 3$，$b = 5$，$\sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得到$S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$。
根据正弦定理，$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，所以$\dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}$，即$a = \dfrac{3}{5}b$。
步骤 2：利用余弦定理
根据余弦定理，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，代入$c = 7$，$C = \dfrac{2\pi}{3}$，$\cos C = -\dfrac{1}{2}$，得到$49 = \dfrac{9}{25}b^2 + b^2 - 2 \times \dfrac{3}{5}b \times b \times (-\dfrac{1}{2})$。
步骤 3：解方程求b
化简方程$49 = \dfrac{9}{25}b^2 + b^2 + \dfrac{3}{5}b^2$，得到$49 = \dfrac{9 + 25 + 15}{25}b^2 = \dfrac{49}{25}b^2$，解得$b^2 = 25$，所以$b = 5$，进而$a = \dfrac{3}{5}b = 3$。
步骤 4：计算面积
根据三角形面积公式$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$，代入$a = 3$，$b = 5$，$\sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得到$S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$。