题目
定积分 int_(0)^1 (1)/(1 + sqrt(x)) dx = ( ) A. 1 - 2ln 2B. 2 - ln 2C. 2 - 2ln 2D. 1 - ln 2
定积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx = (\quad)$
- A. $1 - 2\ln 2$
- B. $2 - \ln 2$
- C. $2 - 2\ln 2$
- D. $1 - \ln 2$
题目解答
答案
令 $t = 1 + \sqrt{x}$，则 $x = (t-1)^2$，$dx = 2(t-1)dt$。当 $x$ 从 0 变到 1 时，$t$ 从 1 变到 2。代入原积分得：
\[
\int_{1}^{2} \frac{2(t-1)}{t} \, dt = \int_{1}^{2} \left(2 - \frac{2}{t}\right) \, dt = 2t \bigg|_{1}^{2} - 2\ln|t| \bigg|_{1}^{2} = 2 - 2\ln 2.
\]
答案：$\boxed{C}$
解析
步骤 1：换元
令 $t = 1 + \sqrt{x}$，则 $x = (t-1)^2$，$dx = 2(t-1)dt$。当 $x$ 从 0 变到 1 时，$t$ 从 1 变到 2。
步骤 2：代入积分
代入原积分得：\[ \int_{1}^{2} \frac{2(t-1)}{t} \, dt = \int_{1}^{2} \left(2 - \frac{2}{t}\right) \, dt \]
步骤 3：计算积分
\[ \int_{1}^{2} \left(2 - \frac{2}{t}\right) \, dt = 2t \bigg|_{1}^{2} - 2\ln|t| \bigg|_{1}^{2} = 2 - 2\ln 2. \]
令 $t = 1 + \sqrt{x}$，则 $x = (t-1)^2$，$dx = 2(t-1)dt$。当 $x$ 从 0 变到 1 时，$t$ 从 1 变到 2。
步骤 2：代入积分
代入原积分得：\[ \int_{1}^{2} \frac{2(t-1)}{t} \, dt = \int_{1}^{2} \left(2 - \frac{2}{t}\right) \, dt \]
步骤 3：计算积分
\[ \int_{1}^{2} \left(2 - \frac{2}{t}\right) \, dt = 2t \bigg|_{1}^{2} - 2\ln|t| \bigg|_{1}^{2} = 2 - 2\ln 2. \]