题目
假设函数(x)f可导，且(x)f，那么(x)f(x)f
假设函数
可导，且
，那么
题目解答
答案
首先根据题干可得：函数可导，且，所以
，所以本题选
解析
步骤 1：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，若函数$f(x)$可导，则${\int }_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$。因此，${\int }_{0}^{x}f'(2t)dt$可以看作是$f'(2t)$在$[0,x]$区间上的积分。
步骤 2：变量替换
为了应用微积分基本定理，我们需要将积分中的变量替换为$2t$。令$u=2t$，则$du=2dt$，从而$dt=\dfrac{1}{2}du$。因此，${\int }_{0}^{x}f'(2t)dt$可以写为$\dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{2x}f'(u)du$。
步骤 3：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，$\dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{2x}f'(u)du=\dfrac{1}{2}[f(u)]_{0}^{2x}=\dfrac{1}{2}[f(2x)-f(0)]$。由于题目条件给出$f(0)=0$，所以$f(2x)-f(0)=f(2x)$。
步骤 4：得出结论
因此，${\int }_{0}^{x}f'(2t)dt=\dfrac{1}{2}f(2x)$。
根据微积分基本定理，若函数$f(x)$可导，则${\int }_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$。因此，${\int }_{0}^{x}f'(2t)dt$可以看作是$f'(2t)$在$[0,x]$区间上的积分。
步骤 2：变量替换
为了应用微积分基本定理，我们需要将积分中的变量替换为$2t$。令$u=2t$，则$du=2dt$，从而$dt=\dfrac{1}{2}du$。因此，${\int }_{0}^{x}f'(2t)dt$可以写为$\dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{2x}f'(u)du$。
步骤 3：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，$\dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{2x}f'(u)du=\dfrac{1}{2}[f(u)]_{0}^{2x}=\dfrac{1}{2}[f(2x)-f(0)]$。由于题目条件给出$f(0)=0$，所以$f(2x)-f(0)=f(2x)$。
步骤 4：得出结论
因此，${\int }_{0}^{x}f'(2t)dt=\dfrac{1}{2}f(2x)$。