[题目] 求极限: lim _(xarrow -infty )dfrac (sqrt {4{x)^2+x-1}+x+1}(sqrt {{x)^2+sin x}}

考查要点：本题主要考查函数在无穷远处的极限计算，涉及根式表达式的化简与近似展开，以及对主导项的识别。

解题核心思路：
当$x \rightarrow -\infty$时，分子和分母中的高次项占主导地位。通过提取最高次项，将根式表达式转化为易于处理的形式，并利用等价无穷小替换或泰勒展开对剩余项进行近似，最终化简求极限。

破题关键点：

1. 分母处理：$\sqrt{x^2 + \sin x} \approx |x| = -x$（因$x$为负数）。
2. 分子处理：将$\sqrt{4x^2 + x -1}$展开为$-2x \sqrt{1 + \frac{x-1}{4x^2}}$，并利用$\sqrt{1 + a} \approx 1 + \frac{a}{2}$（当$a \rightarrow 0$时）进行近似。
3. 合并化简：将分子中的项合并后，高阶无穷小项可忽略，最终得到极限值。

步骤1：处理分母
当$x \rightarrow -\infty$时，$\sqrt{x^2 + \sin x} = |x| \sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^2}} \approx |x| = -x$（因$x$为负数）。

步骤2：处理分子中的根式项
将$\sqrt{4x^2 + x -1}$展开：
$\begin{aligned}\sqrt{4x^2 + x -1} &= |x| \sqrt{4 + \frac{x-1}{x^2}} \\&= -x \cdot \sqrt{4 \left(1 + \frac{x-1}{4x^2}\right)} \\&= -2x \sqrt{1 + \frac{1}{4x} - \frac{1}{4x^2}}.\end{aligned}$

步骤3：泰勒展开近似
当$x \rightarrow -\infty$时，$\frac{1}{4x} - \frac{1}{4x^2} \rightarrow 0$，利用$\sqrt{1 + a} \approx 1 + \frac{a}{2}$：
$\sqrt{1 + \frac{1}{4x} - \frac{1}{4x^2}} \approx 1 + \frac{1}{8x} - \frac{1}{8x^2}.$

步骤4：化简分子
将根式项代入分子：
$\begin{aligned}\text{分子} &= -2x \left(1 + \frac{1}{8x}\right) + x + 1 \\&= -2x - \frac{1}{4} + x + 1 \\&= -x + \frac{3}{4}.\end{aligned}$

步骤5：整体化简分式
分式变为：
$\frac{-x + \frac{3}{4}}{-x} = 1 - \frac{3}{4x} \rightarrow 1 \quad (x \rightarrow -\infty).$