题目
20.25 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成,二者半径分别为R1和R 2,-|||-筒和圆柱之间充以电介质,电介质和金属的μ1均可取作1,求此电缆通过电流I(由中心圆-|||-柱流出,由圆筒流回)时,单位长度内储存的磁能,并通过和自感磁能的公式比较求出单位长-|||-度电缆的自感系数。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁感应强度
在同轴电缆中，电流I由中心圆柱流出，由圆筒流回。根据安培环路定理，可以确定在半径r处的磁感应强度B。对于r < R1，B = 0；对于R1 < r < R2，B = μ0I / (2πr)；对于r > R2，B = 0。
步骤 2：计算单位长度内储存的磁能
单位长度内储存的磁能可以通过积分磁能密度w = (1/2)B^2 / μ0来计算。对于R1 < r < R2，w = (1/2)B^2 / μ0 = (1/2)(μ0I / (2πr))^2 / μ0 = (μ0I^2) / (8π^2r^2)。因此，单位长度内储存的磁能为W = ∫(μ0I^2 / (8π^2r^2))dr，积分范围为R1到R2。
步骤 3：计算自感系数
通过比较单位长度内储存的磁能和自感磁能的公式W = (1/2)LI^2，可以求出单位长度电缆的自感系数L。将W = (μ0I^2 / (4π))(1/4 + ln(R2 / R1))代入，得到L = (μ0 / (2π))(1/4 + ln(R2 / R1))。
在同轴电缆中，电流I由中心圆柱流出，由圆筒流回。根据安培环路定理，可以确定在半径r处的磁感应强度B。对于r < R1，B = 0；对于R1 < r < R2，B = μ0I / (2πr)；对于r > R2，B = 0。
步骤 2：计算单位长度内储存的磁能
单位长度内储存的磁能可以通过积分磁能密度w = (1/2)B^2 / μ0来计算。对于R1 < r < R2，w = (1/2)B^2 / μ0 = (1/2)(μ0I / (2πr))^2 / μ0 = (μ0I^2) / (8π^2r^2)。因此，单位长度内储存的磁能为W = ∫(μ0I^2 / (8π^2r^2))dr，积分范围为R1到R2。
步骤 3：计算自感系数
通过比较单位长度内储存的磁能和自感磁能的公式W = (1/2)LI^2，可以求出单位长度电缆的自感系数L。将W = (μ0I^2 / (4π))(1/4 + ln(R2 / R1))代入，得到L = (μ0 / (2π))(1/4 + ln(R2 / R1))。