1. (10.0分) 【单选题】设X_(1),X_(2),...,X_(n)是独立同服从U(0,2theta)的随机变量序列，则对于任意的varepsilon>0，lim_(ntoinfty)P(|(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)-theta|A. Phi(x)B. N(0,1)C. 1D. 0

考查要点：本题主要考查大数定律或切比雪夫不等式的应用，涉及均匀分布的期望与方差计算，以及随机变量序列的收敛性。

解题核心思路：

1. 确定分布参数：明确均匀分布$U(0,2\theta)$的期望和方差。
2. 分析样本均值的收敛性：利用大数定律或切比雪夫不等式，证明样本均值依概率收敛于期望值$\theta$。
3. 极限概率判断：通过不等式或定理直接得出概率的极限值。

破题关键点：

• 期望与方差的计算是基础，需准确得出$E(X_i)=\theta$和$D(X_i)=\frac{\theta^2}{3}$。
• 切比雪夫不等式的应用可将概率转化为与方差相关的表达式，通过$n \to \infty$时的极限判断结果。

步骤1：计算期望与方差

均匀分布$U(0,2\theta)$的期望为：
$E(X_i) = \frac{0 + 2\theta}{2} = \theta$
方差为：
$D(X_i) = \frac{(2\theta - 0)^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}$

步骤2：分析样本均值的性质

样本均值$\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$的期望为：
$E(\overline{X}_n) = \theta$
方差为：
$D(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{\theta^2}{3n}$

步骤3：应用切比雪夫不等式

根据切比雪夫不等式：
$P\left( \left| \overline{X}_n - \theta \right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{D(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\theta^2}{3n\varepsilon^2}$
当$n \to \infty$时，右侧$\frac{\theta^2}{3n\varepsilon^2} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \overline{X}_n - \theta \right| \geq \varepsilon \right) = 0$
从而：
$\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \overline{X}_n - \theta \right| < \varepsilon \right) = 1$