确定下列函数的单调区间： =ln (x+sqrt (1+{x)^2})

步骤 1：求导
首先，我们需要求出函数$f(x) = \ln (x+\sqrt {1+x^{2}})$的导数。根据链式法则，我们有：
$$f'(x) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \left(1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$
步骤 2：化简导数
化简导数表达式，得到：
$$f'(x) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$
$$f'(x) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}$$
$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$$
步骤 3：分析导数符号
由于$\sqrt{1+x^{2}}$总是正的，因此$f'(x)$总是正的。这意味着函数$f(x)$在其定义域内是单调增加的。