1/6 判断题 判断sum_(n=1)^inftyx^n,xin(0,1) 一致收敛性，是一致收敛的（）A. 对B. 错

本题考查函数项级数一致收敛性的判断，解题思路是利用函数项级数一致收敛的定义或者余项准则来判断$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n},x\in(0,1)$是否一致收敛。

方法一：利用余项准则

对于函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)$，若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in I}|R_{n}(x)| = 0$，则级数在区间$I$上一致收敛，其中$R_{n}(x)=\sum_{k = n + 1}^{\infty}u_{k}(x)$为余项。

• 步骤一：求级数$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n}$的部分和$S_{n}(x)$
  已知$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n}$是首项为$x$，公比为$x$的等比级数，根据等比级数求和公式$S_{n}=\frac{a(1 - q^{n})}{1 - q}$（其中$a$为首项，$q$为公比）可得：
  $S_{n}(x)=\sum_{k = 1}^{n}x^{k}=\frac{x(1 - x^{n})}{1 - x}$，$x\in(0,1)$。
• 步骤二：求余项$R_{n}(x)$
  $R_{n}(x)=\sum_{k = n + 1}^{\infty}x^{k}=\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\sum_{k = n + 1}^{m}x^{k}=\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\frac{x^{n + 1}(1 - x^{m - n})}{1 - x}$
  因为$x\in(0,1)$，所以$\lim\limits_{m\rightarrow\infty}x^{m - n}=0$，则$R_{n}(x)=\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$。
• 步骤三：求$\sup\limits_{x\in(0,1)}|R_{n}(x)|$
  对$y = \frac{x^{n + 1}}{1 - x}$求导，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = x^{n + 1}$，$v = 1 - x$，可得：
  $y^\prime=\frac{(n + 1)x^{n}(1 - x)+x^{n + 1}}{(1 - x)^2}=\frac{(n + 1)x^{n}-(n + 1)x^{n + 1}+x^{n + 1}}{(1 - x)^2}=\frac{(n + 1)x^{n}-nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}=\frac{x^{n}((n + 1)-nx)}{(1 - x)^2}$
  令$y^\prime = 0$，即$x^{n}((n + 1)-nx)=0$，因为$x\in(0,1)$，所以$x^{n}\neq0$，则$(n + 1)-nx = 0$，解得$x=\frac{n + 1}{n}$（舍去）或$x = 1$（舍去）。
  当$x\in(0,1)$时，$y^\prime>0$，所以$y = \frac{x^{n + 1}}{1 - x}$在$(0,1)$上单调递增。
  则$\sup\limits_{x\in(0,1)}|R_{n}(x)|=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}\frac{x^{n + 1}}{1 - x}=+\infty$。
• 步骤四：判断一致收敛性
  因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in(0,1)}|R_{n}(x)| = +\infty\neq0$，所以级数$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n}$在$(0,1)$上不一致收敛。

方法二：利用一致收敛的定义

若对于任意给定的$\epsilon>0$，存在正整数$N$，当$n>N$时，对于一切$x\in I$，都有$\vert S_{n}(x)-S(x)\vert<\epsilon$，则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)$在区间$I$上一致收敛，其中$S(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_{n}(x)$。

• 步骤一：求$S(x)$
  $S(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_{n}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x(1 - x^{n})}{1 - x}=\frac{x}{1 - x}$，$x\in(0,1)$。
• 步骤二：判断是否满足一致收敛定义
  $\vert S_{n}(x)-S(x)\vert=\vert\frac{x(1 - x^{n})}{1 - x}-\frac{x}{1 - x}\vert=\vert\frac{x - x^{n + 1}-x}{1 - x}\vert=\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$
  取$\epsilon=\frac{1}{2}$，对于任意的正整数$N$，当$x$足够接近$1$时，$\frac{x^{n + 1}}{1 - x}>\frac{1}{2}$，不满足一致收敛的定义，所以级数$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n}$在$(0,1)$上不一致收敛。