题目
判断：第二类曲面积分中的积分元素dydz,dzdx ,dxdy与第二类曲线积分中的dydz,dzdx ,dxdy都是可正可负可为零的，它们的正负分别取决于曲面和曲线的方向 . ( )A 对 B 错
判断：第二类曲面积分中的积分元素
与第二类曲线积分中的
都是可正可负可为零的，它们的正负分别取决于曲面和曲线的方向 . ( )
A 对
B 错
题目解答
答案
根据已有知识，第二类曲线积分与积分路径有关，的正负取决于曲线的方向，逆正顺负；第二类曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二类曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，曲面积分要改变符号。第二类曲面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。
具体地，分别是第一类曲面积分中的
在三个不同的面下的面积投影区域，以
面为例，
，当
时，
，其为一个正值；当
时，
，其为一个负值；当
时，
。
也是类似的。
因此，本题答案选A。
解析
步骤 1：理解第二类曲线积分
第二类曲线积分与积分路径有关，dx,dy的正负取决于曲线的方向，逆正顺负。
步骤 2：理解第二类曲面积分
第二类曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二类曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，曲面积分要改变符号。
步骤 3：分析dydz,dzdx ,dxdy的正负
dydz,dzdx ,dxdy分别是第一类曲面积分中的dS在三个不同的面下的面积投影区域，以xoy面为例，$dxdy=\cos ydS$，当$0=\lambda $时，dxdy=dS，其为一个正值；当$y=\pi $时，dxdy=-dS，其为一个负值；当$y=\dfrac {\pi }{2}$时，dxdy=0。dydz,dzdx也是类似的。
第二类曲线积分与积分路径有关，dx,dy的正负取决于曲线的方向，逆正顺负。
步骤 2：理解第二类曲面积分
第二类曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二类曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，曲面积分要改变符号。
步骤 3：分析dydz,dzdx ,dxdy的正负
dydz,dzdx ,dxdy分别是第一类曲面积分中的dS在三个不同的面下的面积投影区域，以xoy面为例，$dxdy=\cos ydS$，当$0=\lambda $时，dxdy=dS，其为一个正值；当$y=\pi $时，dxdy=-dS，其为一个负值；当$y=\dfrac {\pi }{2}$时，dxdy=0。dydz,dzdx也是类似的。