题目
事件A与B相互独立与事件overrightarrow(A)与overrightarrow(B)相互独立是等价的． ____ （判断对错）
事件A与B相互独立与事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立是等价的． ____ （判断对错）
题目解答
答案
解：①若事件A与事件B相互独立，则$\overline{A}$和$\overline{B}$也相互独立，
②若$\overline{A}$和$\overline{B}$也相互独立，则事件A与事件B相互独立，
∴事件A与B相互独立与事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立是等价的．
故答案为：正确．
②若$\overline{A}$和$\overline{B}$也相互独立，则事件A与事件B相互独立，
∴事件A与B相互独立与事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立是等价的．
故答案为：正确．
解析
步骤 1：定义事件A与B相互独立
事件A与B相互独立，意味着事件A的发生不影响事件B的发生概率，反之亦然。数学上，这可以表示为P(A∩B) = P(A)P(B)。
步骤 2：定义事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立
事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立，意味着事件$\overrightarrow{A}$的发生不影响事件$\overrightarrow{B}$的发生概率，反之亦然。数学上，这可以表示为P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$) = P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$)。
步骤 3：证明事件A与B相互独立与事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立是等价的
首先，假设事件A与B相互独立，即P(A∩B) = P(A)P(B)。根据概率论中的德摩根定律，有P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$) = P($\overrightarrow{A∪B}$) = 1 - P(A∪B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A∩B)] = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$)。因此，事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立。
其次，假设事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立，即P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$) = P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$)。根据德摩根定律，有P(A∩B) = P($\overrightarrow{\overrightarrow{A}∪\overrightarrow{B}}$) = 1 - P($\overrightarrow{A}$∪$\overrightarrow{B}$) = 1 - [P($\overrightarrow{A}$) + P($\overrightarrow{B}$) - P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$)] = 1 - P($\overrightarrow{A}$) - P($\overrightarrow{B}$) + P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$) = P(A)P(B)。因此，事件A与B相互独立。
事件A与B相互独立，意味着事件A的发生不影响事件B的发生概率，反之亦然。数学上，这可以表示为P(A∩B) = P(A)P(B)。
步骤 2：定义事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立
事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立，意味着事件$\overrightarrow{A}$的发生不影响事件$\overrightarrow{B}$的发生概率，反之亦然。数学上，这可以表示为P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$) = P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$)。
步骤 3：证明事件A与B相互独立与事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立是等价的
首先，假设事件A与B相互独立，即P(A∩B) = P(A)P(B)。根据概率论中的德摩根定律，有P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$) = P($\overrightarrow{A∪B}$) = 1 - P(A∪B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A∩B)] = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$)。因此，事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立。
其次，假设事件$\overrightarrow{A}$与$\overrightarrow{B}$相互独立，即P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$) = P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$)。根据德摩根定律，有P(A∩B) = P($\overrightarrow{\overrightarrow{A}∪\overrightarrow{B}}$) = 1 - P($\overrightarrow{A}$∪$\overrightarrow{B}$) = 1 - [P($\overrightarrow{A}$) + P($\overrightarrow{B}$) - P($\overrightarrow{A}$∩$\overrightarrow{B}$)] = 1 - P($\overrightarrow{A}$) - P($\overrightarrow{B}$) + P($\overrightarrow{A}$)P($\overrightarrow{B}$) = P(A)P(B)。因此，事件A与B相互独立。