1.求下列函数的二阶导数:-|||-(12) =ln (x+sqrt (1+{x)^2}).

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算，特别是对数函数与根式函数的复合求导，以及二阶导数的求解方法。

解题核心思路：

1. 一阶导数：利用链式法则对复合函数求导，注意对数函数的导数形式。
2. 化简技巧：通过分子分母同乘根号项，简化表达式，发现关键约简。
3. 二阶导数：对化简后的一阶导数再次应用幂函数求导法则。

破题关键点：

• 识别复合结构：函数由外层对数函数和内层根式函数组成。
• 灵活化简：通过分子分母同乘根号项，发现分子与分母的公共因子，大幅简化计算。
• 幂函数求导：将一阶导数转化为幂函数形式，直接应用导数公式。

第（12）题

求一阶导数 $y'$

1. 外层对数函数导数：
   设 $u = x + \sqrt{1+x^2}$，则 $y = \ln u$，导数为 $\frac{1}{u} \cdot u'$。

2. 计算内层函数 $u$ 的导数：
   $u = x + \sqrt{1+x^2}$，其导数为：
   $u' = 1 + \frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

3. 合并表达式：
   代入得：
   $y' = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$

4. 化简关键步骤：
   分子分母同乘 $\sqrt{1+x^2}$：
   $y' = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{(x + \sqrt{1+x^2}) \sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

求二阶导数 $y''$

1. 幂函数形式：
   将 $y' = (1+x^2)^{-1/2}$，应用链式法则：
   $y'' = -\frac{1}{2} \cdot (1+x^2)^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$