题目
8.L为曲线 ^2=x 上点O(0,0)和点B(1,1)的一段-|||-弧,则 (int )_(2)^y(d)_(5)= ()-|||-A dfrac (1)(2)(5sqrt (5)-1)-|||-B dfrac (1)(6)(5sqrt (5)-1)-|||-C dfrac (1)(3)(5sqrt (5)-1)-|||-D dfrac (1)(12)(5sqrt (5)-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线的参数方程
曲线 ${y}^{2}=x$ 可以表示为 $x=y^2$，其中 $y$ 从 0 变化到 1。因此，曲线的参数方程为 $x=y^2$，$y=y$。
步骤 2：计算弧长微分 $dS$
根据弧长微分公式 $dS=\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$，其中 $\frac{dx}{dy}=2y$。因此，$dS=\sqrt{1+(2y)^2}dy=\sqrt{1+4y^2}dy$。
步骤 3：计算积分 ${\int }_{0}^{1}y\sqrt{1+4y^2}dy$
将 $dS$ 代入积分中，得到 ${\int }_{0}^{1}y\sqrt{1+4y^2}dy$。令 $u=1+4y^2$，则 $du=8ydy$，$ydy=\frac{1}{8}du$。当 $y=0$ 时，$u=1$；当 $y=1$ 时，$u=5$。因此，积分变为 $\frac{1}{8}{\int }_{1}^{5}\sqrt{u}du$。计算积分，得到 $\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\bigg|_{1}^{5}=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$。
曲线 ${y}^{2}=x$ 可以表示为 $x=y^2$，其中 $y$ 从 0 变化到 1。因此，曲线的参数方程为 $x=y^2$，$y=y$。
步骤 2：计算弧长微分 $dS$
根据弧长微分公式 $dS=\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$，其中 $\frac{dx}{dy}=2y$。因此，$dS=\sqrt{1+(2y)^2}dy=\sqrt{1+4y^2}dy$。
步骤 3：计算积分 ${\int }_{0}^{1}y\sqrt{1+4y^2}dy$
将 $dS$ 代入积分中，得到 ${\int }_{0}^{1}y\sqrt{1+4y^2}dy$。令 $u=1+4y^2$，则 $du=8ydy$，$ydy=\frac{1}{8}du$。当 $y=0$ 时，$u=1$；当 $y=1$ 时，$u=5$。因此，积分变为 $\frac{1}{8}{\int }_{1}^{5}\sqrt{u}du$。计算积分，得到 $\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\bigg|_{1}^{5}=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$。