题目

主观题 难度 ★☆☆☆☆(2000)设f(ln x)=(ln(1+x))/(x)，计算int f(x)dx.

主观题 难度 ★☆☆☆☆ (2000)设$f(\ln x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，计算$\int f(x)dx$.

题目解答

答案

设 $ t = \ln x $，则 $ x = e^t $。代入已知条件 $ f(\ln x) = \frac{\ln(1+x)}{x} $，得
$f(t) = \frac{\ln(1+e^t)}{e^t}.$
因此，$ f(x) = \frac{\ln(1+e^x)}{e^x} $。

接下来，计算积分 $ \int f(x) \, dx $：
$\int f(x) \, dx = \int \frac{\ln(1+e^x)}{e^x} \, dx.$
令 $ u = \ln(1+e^x) $，则 $ du = \frac{e^x}{1+e^x} \, dx $。同时，$ dv = e^{-x} \, dx $，则 $ v = -e^{-x} $。应用分部积分法：
$\int f(x) \, dx = -e^{-x} \ln(1+e^x) + \int \frac{e^x}{1+e^x} \cdot e^{-x} \, dx = -e^{-x} \ln(1+e^x) + \int \frac{1}{1+e^x} \, dx.$
对于 $ \int \frac{1}{1+e^x} \, dx $，可化简为：
$\int \frac{1}{1+e^x} \, dx = \int \frac{1+e^x - e^x}{1+e^x} \, dx = \int \left(1 - \frac{e^x}{1+e^x}\right) \, dx = x - \ln(1+e^x) + C.$
将结果代入，得：
$\int f(x) \, dx = -e^{-x} \ln(1+e^x) + x - \ln(1+e^x) + C = -\left(1 + e^{-x}\right) \ln(1+e^x) + x + C.$
答案：
$\boxed{-\left(1 + e^{-x}\right) \ln(1+e^x) + x + C}$

解析

本题主要考查函数表达式的求解以及不定积分的计算，具体思路如下：

  1. 求出函数$f(x)$的表达式：
    • 已知$f(\ln x)=\frac{\ln(1 + x)}{x}$，为了得到$f(x)$，我们进行换元。设$t = \ln x$，根据对数函数与指数函数的关系，可得$x = e^t$。
    • 将$x = e^t$代入$f(\ln x)=\frac{\ln(1 + x)}{x}$中，得到$f(t)=\frac{\ln(1 + e^t)}{e^t}$。
    • 因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f(x)=\frac{\ln(1 + e^x)}{e^x}$。
  2. 计算不定积分$\int f(x)dx$：
    • 由$f(x)=\frac{\ln(1 + e^x)}{e^x}$，则$\int f(x)dx=\int\frac{\ln(1 + e^x)}{e^x}dx$。
    • 这里使用分部积分法，分部积分公式为$\int u dv=uv-\int v du$。
    • 令$u = \ln(1 + e^x)$，对$u$求导，根据复合函数求导法则$(\ln(1 + e^x))^\prime=\frac{(1 + e^x)^\prime}{1 + e^x}=\frac{e^x}{1 + e^x}$，所以$du=\frac{e^x}{1 + e^x}dx$。
    • 令$dv = e^{-x}dx$，对$dv$积分，$v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}$。
    • 根据分部积分公式可得：
      $\int f(x)dx=-e^{-x}\ln(1 + e^x)-\int(-e^{-x})\cdot\frac{e^x}{1 + e^x}dx=-e^{-x}\ln(1 + e^x)+\int\frac{1}{1 + e^x}dx$。
  3. 计算$\int\frac{1}{1 + e^x}dx$：
    • 对$\frac{1}{1 + e^x}$进行变形，$\frac{1}{1 + e^x}=\frac{1 + e^x - e^x}{1 + e^x}=1-\frac{e^x}{1 + e^x}$。
    • 则$\int\frac{1}{1 + e^x}dx=\int(1-\frac{e^x}{1 + e^x})dx$。
    • 根据积分的性质$\int(f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，可得$\int(1-\frac{e^x}{1 + e^x})dx=\int 1dx-\int\frac{e^x}{1 + e^x}dx$。
    • 因为$\int 1dx=x$，$\int\frac{e^x}{1 + e^x}dx=\ln(1 + e^x)+C_1$（令$t = 1 + e^x$，$dt = e^x dx$，则$\int\frac{e^x}{1 + e^x}dx=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C_1=\ln(1 + e^x)+C_1$）。
    • 所以$\int\frac{1}{1 + e^x}dx=x-\ln(1 + e^x)+C_1$。
  4. 将$\int\frac{1}{1 + e^x}dx$的结果代入$\int f(x)dx$中：
    • $\int f(x)dx=-e^{-x}\ln(1 + e^x)+x-\ln(1 + e^x)+C$（$C$为任意常数）。
    • 提取公因式$-\ln(1 + e^x)$，得到$\int f(x)dx=-\left(1 + e^{-x}\right)\ln(1 + e^x)+x + C$。