2 设一物质的物态方程具有以下形式:试证明其内能与体积无关.

考查要点：本题主要考查热力学中内能与物态方程的关系，以及如何利用热力学基本方程和麦克斯韦关系式进行推导。

解题核心思路：
通过物态方程 $p = f(V)T$，结合内能的全微分表达式 $dU = TdS - pdV$，推导出内能对体积的偏导数 $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T$，并证明其等于零，从而说明内能与体积无关。

破题关键点：

1. 麦克斯韦关系式：$\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \dfrac{p}{T}$。
2. 内能偏导数的表达式：$\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p$。
3. 将物态方程代入上述关系式，化简后即可得到结论。

1. 写出内能的全微分
   根据热力学第一定律，内能的全微分为：
   $dU = TdS - pdV.$

2. 计算恒温下内能对体积的偏导数
   在恒温条件下，$T = \text{const}$，因此：
   $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p.$

3. 应用麦克斯韦关系式
   由麦克斯韦关系式：
   $\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \dfrac{p}{T}.$
   将物态方程 $p = f(V)T$ 代入，得：
   $\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \dfrac{f(V)T}{T} = f(V).$

4. 代入偏导数表达式
   将 $\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T = f(V)$ 和 $p = f(V)T$ 代入 $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T$：
   $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \cdot f(V) - f(V)T = 0.$

5. 结论
   由于 $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0$，说明内能 $U$ 仅是温度 $T$ 的函数，与体积 $V$ 无关。