题目
已知一质点做直线运动，其加速度为a=4+3tm•s-2，开始运动时，x=5m，v=0，求该质点在t=10s时的速度和位置。
已知一质点做直线运动，其加速度为a=4+3tm•s-2，开始运动时，x=5m，v=0，求该质点在t=10s时的速度和位置。
题目解答
答案
解：根据加速度为a=4+3tm•s-2，做出加速度随时间变化图象如图所示：
加速度时间图象中面积表示速度可得：
在t=10s时的速度为：$v=\frac{1}{2}×（4+34）×10m/s=190m/s$
速度与时间关系为：$v=\frac{（4+4+3t）t}{2}=\frac{3{t}^{2}}{2}+4t$
由于$v=\frac{dx}{dt}=4t+\frac{3}{2}{t}^{2}$
所以$△x=2{t}^{2}+\frac{1}{2}{t}^{3}$
故当t=10s时，有：
$x-{x}_{0}=2{t}^{2}+\frac{1}{2}{t}^{3}{|}_{t=10}=200+500=700m$
则由于：x=705m
答：该质点在t=10s时的速度为190m/s，位置x=705m。
加速度时间图象中面积表示速度可得：
在t=10s时的速度为：$v=\frac{1}{2}×（4+34）×10m/s=190m/s$
速度与时间关系为：$v=\frac{（4+4+3t）t}{2}=\frac{3{t}^{2}}{2}+4t$
由于$v=\frac{dx}{dt}=4t+\frac{3}{2}{t}^{2}$
所以$△x=2{t}^{2}+\frac{1}{2}{t}^{3}$
故当t=10s时，有：
$x-{x}_{0}=2{t}^{2}+\frac{1}{2}{t}^{3}{|}_{t=10}=200+500=700m$
则由于：x=705m
答：该质点在t=10s时的速度为190m/s，位置x=705m。
解析
步骤 1：确定加速度与时间的关系
已知加速度为$a=4+3t$，其中$a$的单位为$m/s^2$，$t$的单位为$s$。
步骤 2：计算速度
根据加速度的定义，加速度是速度对时间的导数，即$a=\frac{dv}{dt}$。因此，速度$v$可以通过对加速度$a$进行积分得到。即$v=\int a dt$。
$$v=\int (4+3t) dt = 4t + \frac{3}{2}t^2 + C$$
其中$C$是积分常数。由于在$t=0$时，$v=0$，所以$C=0$。因此，速度$v$为：
$$v=4t + \frac{3}{2}t^2$$
当$t=10s$时，速度$v$为：
$$v=4×10 + \frac{3}{2}×10^2 = 40 + 150 = 190m/s$$
步骤 3：计算位置
根据速度的定义，速度是位置对时间的导数，即$v=\frac{dx}{dt}$。因此，位置$x$可以通过对速度$v$进行积分得到。即$x=\int v dt$。
$$x=\int (4t + \frac{3}{2}t^2) dt = 2t^2 + \frac{1}{2}t^3 + D$$
其中$D$是积分常数。由于在$t=0$时，$x=5m$，所以$D=5$。因此，位置$x$为：
$$x=2t^2 + \frac{1}{2}t^3 + 5$$
当$t=10s$时，位置$x$为：
$$x=2×10^2 + \frac{1}{2}×10^3 + 5 = 200 + 500 + 5 = 705m$$
已知加速度为$a=4+3t$，其中$a$的单位为$m/s^2$，$t$的单位为$s$。
步骤 2：计算速度
根据加速度的定义，加速度是速度对时间的导数，即$a=\frac{dv}{dt}$。因此，速度$v$可以通过对加速度$a$进行积分得到。即$v=\int a dt$。
$$v=\int (4+3t) dt = 4t + \frac{3}{2}t^2 + C$$
其中$C$是积分常数。由于在$t=0$时，$v=0$，所以$C=0$。因此，速度$v$为：
$$v=4t + \frac{3}{2}t^2$$
当$t=10s$时，速度$v$为：
$$v=4×10 + \frac{3}{2}×10^2 = 40 + 150 = 190m/s$$
步骤 3：计算位置
根据速度的定义，速度是位置对时间的导数，即$v=\frac{dx}{dt}$。因此，位置$x$可以通过对速度$v$进行积分得到。即$x=\int v dt$。
$$x=\int (4t + \frac{3}{2}t^2) dt = 2t^2 + \frac{1}{2}t^3 + D$$
其中$D$是积分常数。由于在$t=0$时，$x=5m$，所以$D=5$。因此，位置$x$为：
$$x=2t^2 + \frac{1}{2}t^3 + 5$$
当$t=10s$时，位置$x$为：
$$x=2×10^2 + \frac{1}{2}×10^3 + 5 = 200 + 500 + 5 = 705m$$