题目
已知非齐次线性方程组Ax=b和其对应的齐次线性方程组Ax=0，下列说法正确的是（）。A. Ax=0无非零解时，Ax=b无解；B. Ax=0有无穷多个解时，Ax=b有无多解C. Ax=b无解时，Ax=0无非零解D. Ax=b有唯一解时，Ax=0只有零解
已知非齐次线性方程组$Ax=b$和其对应的齐次线性方程组$Ax=0$，下列说法正确的是（）。
A. $Ax=0$无非零解时，$Ax=b$无解；
B. $Ax=0$有无穷多个解时，$Ax=b$有无多解
C. $Ax=b$无解时，$Ax=0$无非零解
D. $Ax=b$有唯一解时，$Ax=0$只有零解
题目解答
答案
D. $Ax=b$有唯一解时，$Ax=0$只有零解
解析
步骤 1：分析选项A
$Ax=0$无非零解，意味着$Ax=0$只有零解，即方程组的系数矩阵$A$的秩等于未知数的个数$n$，即$\text{rank}(A)=n$。此时，$Ax=b$的解的存在性取决于$\text{rank}(A)$和$\text{rank}(A,b)$的关系，若$\text{rank}(A)=\text{rank}(A,b)$，则$Ax=b$有解，否则无解。因此，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
$Ax=0$有无穷多个解，意味着$Ax=0$的解空间的维数大于0，即$\text{rank}(A)
步骤 3：分析选项C
$Ax=b$无解，意味着$\text{rank}(A)
步骤 4：分析选项D
$Ax=b$有唯一解，意味着$\text{rank}(A)=\text{rank}(A,b)=n$，即$Ax=0$只有零解。因此，选项D正确。
$Ax=0$无非零解，意味着$Ax=0$只有零解，即方程组的系数矩阵$A$的秩等于未知数的个数$n$，即$\text{rank}(A)=n$。此时，$Ax=b$的解的存在性取决于$\text{rank}(A)$和$\text{rank}(A,b)$的关系，若$\text{rank}(A)=\text{rank}(A,b)$，则$Ax=b$有解，否则无解。因此，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
$Ax=0$有无穷多个解，意味着$Ax=0$的解空间的维数大于0，即$\text{rank}(A)
步骤 3：分析选项C
$Ax=b$无解，意味着$\text{rank}(A)
步骤 4：分析选项D
$Ax=b$有唯一解，意味着$\text{rank}(A)=\text{rank}(A,b)=n$，即$Ax=0$只有零解。因此，选项D正确。