题目

一、单选题（共50题，100.0分） 23.（单选题，2.0分） 1.y=sin2x的导数是 A A.2cosx B B.2sinx C C.2cos2x D D.cos2x

一、单选题（共50题，100.0分） 23.（单选题，2.0分） 1.y=sin2x的导数是 A
A.2cosx B
B.2sinx C
C.2cos2x D
D.cos2x

题目解答

答案

设 $ u = 2x $，则 $ y = \sin u $。 根据链式法则， \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos 2x. \] 或者，利用二倍角公式 $ \sin 2x = 2\sin x\cos x $， \[ \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right) = 2\cos 2x. \] **答案：** $\boxed{C}$

解析

本题考查复合函数的导数计算，核心在于链式法则的应用。题目给出函数$y = \sin 2x$，需要求其导数。解题的关键在于识别出外层函数$\sin u$和内层函数$u = 2x$，并通过链式法则分步求导。此外，也可以利用二倍角公式将原函数展开后直接求导，两种方法殊途同归。

方法一：链式法则

  1. 设中间变量：令$u = 2x$，则原函数变为$y = \sin u$。
  2. 分步求导：
    • 外层函数对$u$的导数：$\frac{dy}{du} = \cos u$。
    • 内层函数对$x$的导数：$\frac{du}{dx} = 2$。
  3. 链式法则合成：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos 2x$。

方法二：二倍角公式

  1. 展开原函数：利用$\sin 2x = 2\sin x \cos x$。
  2. 应用乘积法则：
    $\frac{d}{dx}(\sin 2x) = \frac{d}{dx}(2\sin x \cos x) = 2\left(\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)\right).$
  3. 化简结果：
    $2\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right) = 2\cos 2x.$