设随机变量X的分布律为P(X=k)=(lambda^k)/(ak!)(lambda >0,k=1,2,3,...),则a=()。A. e^-lambdaB. e^lambdaC. e^-lambda-1D. e^lambda-1

考查要点：本题主要考查概率分布的归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。关键在于将给定的分布律与指数函数的泰勒展开式联系起来。

解题核心思路：

1. 根据概率和为1的性质，列出方程；
2. 利用指数函数展开式简化求和项；
3. 解方程求出参数$a$的值。

破题关键点：

• 识别求和形式与指数函数展开式的关联，特别是$\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^\lambda$；
• 调整求和下限，将题目中的$k=1$调整为从$k=0$开始的完整展开式，再减去$k=0$的项。

根据概率分布的归一性，所有概率之和为1：

$\sum_{k=1}^\infty P(X=k) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{a k!} = 1$

步骤1：提取常数项
将常数$\frac{1}{a}$提出：

$\frac{1}{a} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = 1$

步骤2：关联指数函数展开式
指数函数$e^\lambda$的展开式为：

$e^\lambda = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}$

因此，题目中的求和项可表示为：

$\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^\lambda - \frac{\lambda^0}{0!} = e^\lambda - 1$

步骤3：解方程求$a$
将上述结果代入原方程：

$\frac{1}{a} (e^\lambda - 1) = 1 \quad \Rightarrow \quad a = e^\lambda - 1$