题目
1-11 质点的运动方程为 =4(t)^2t+(3+2t)-|||-(m),t以s计.求-|||-(1)质点的轨迹方程;-|||-(2) t=1s 时质点的坐标和位矢方向;-|||-(3)第1秒内质点的位移和平均速度;-|||-(4) t=1s 时质点的速度和加速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求质点的轨迹方程
质点的运动方程为 $r=4{t}^{2}i+(3+2t)j$，其中 $r$ 是位矢，$i$ 和 $j$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的单位向量。根据运动方程，可以得到质点在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的坐标分别为 $x=4{t}^{2}$ 和 $y=3+2t$。为了求出轨迹方程，需要消去时间变量 $t$。从 $y=3+2t$ 可以解出 $t=\frac{y-3}{2}$，将这个表达式代入 $x=4{t}^{2}$ 中，得到 $x=4{(\frac{y-3}{2})}^{2}$，化简后得到 $x-{(y-3)}^{2}=0$，这就是质点的轨迹方程。
步骤 2：求 t=1s 时质点的坐标和位矢方向
当 $t=1s$ 时，质点的坐标为 $x=4{t}^{2}=4{1}^{2}=4$ 和 $y=3+2t=3+2*1=5$，所以质点的坐标为 [4,5]m。位矢方向可以通过位矢的单位向量来表示，位矢为 $r=4i+5j$，其大小为 $|r|=\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{41}$，单位向量为 $\frac{r}{|r|}=\frac{4i+5j}{\sqrt{41}}$，位矢方向与 $x$ 轴的夹角为 $\theta=\arctan{\frac{5}{4}}\approx51.3°$。
步骤 3：求第1秒内质点的位移和平均速度
第1秒内质点的位移为 $r(1)-r(0)=4i+5j-3j=4i+2j$，平均速度为 $\frac{r(1)-r(0)}{1-0}=4i+2j$。
步骤 4：求 t=1s 时质点的速度和加速度
质点的速度为 $v=\frac{dr}{dt}=8ti+2j$，当 $t=1s$ 时，$v=8i+2j$。质点的加速度为 $a=\frac{dv}{dt}=8i$，当 $t=1s$ 时，$a=8i$。
质点的运动方程为 $r=4{t}^{2}i+(3+2t)j$，其中 $r$ 是位矢，$i$ 和 $j$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的单位向量。根据运动方程，可以得到质点在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的坐标分别为 $x=4{t}^{2}$ 和 $y=3+2t$。为了求出轨迹方程，需要消去时间变量 $t$。从 $y=3+2t$ 可以解出 $t=\frac{y-3}{2}$，将这个表达式代入 $x=4{t}^{2}$ 中，得到 $x=4{(\frac{y-3}{2})}^{2}$，化简后得到 $x-{(y-3)}^{2}=0$，这就是质点的轨迹方程。
步骤 2：求 t=1s 时质点的坐标和位矢方向
当 $t=1s$ 时，质点的坐标为 $x=4{t}^{2}=4{1}^{2}=4$ 和 $y=3+2t=3+2*1=5$，所以质点的坐标为 [4,5]m。位矢方向可以通过位矢的单位向量来表示，位矢为 $r=4i+5j$，其大小为 $|r|=\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{41}$，单位向量为 $\frac{r}{|r|}=\frac{4i+5j}{\sqrt{41}}$，位矢方向与 $x$ 轴的夹角为 $\theta=\arctan{\frac{5}{4}}\approx51.3°$。
步骤 3：求第1秒内质点的位移和平均速度
第1秒内质点的位移为 $r(1)-r(0)=4i+5j-3j=4i+2j$，平均速度为 $\frac{r(1)-r(0)}{1-0}=4i+2j$。
步骤 4：求 t=1s 时质点的速度和加速度
质点的速度为 $v=\frac{dr}{dt}=8ti+2j$，当 $t=1s$ 时，$v=8i+2j$。质点的加速度为 $a=\frac{dv}{dt}=8i$，当 $t=1s$ 时，$a=8i$。