2.画出积分区域,并计算下列二重积分:-|||-(1) x√ydd ,其中D是由两条抛物线 =sqrt (x) =(x)^2 所围成的闭区域;-|||-(2)∫xy^2dσ,其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及y轴所围成的右半闭区域;-|||-(3) (iint )_(D)(e)^x+ydsigma ,其中 = (x,y)||x|+|y|leqslant 1 ;-|||-(4) iint ((x)^2+(y)^2-x)d ,其中D是由直线 y=2 ,y=x 及 y=2x 所围成的闭区域.-|||-D

题目考察知识

本题主要考察二重积分的计算，需根据积分积分区域的形状选择合适的积分顺序（先对$1$}{n+1}x^{n+1}+C)或先对$x$积分），并正确确定积分。

各题详解

(1) $\iint_D x\sqrt{y}\,d\sigma$，$1)\(D$由$y=\sqrt{x}$与$y=x^2$围成

1. 确定积分区域：联立$y=\sqrt{x}$与$y=x^2$得交点$(0,0)$和$(1)\(1$)。$x\in[0,1]$时，$x^2\leq y\leq\sqrt{x}$。
2. 积分计算：
   $\int_0^1 x\left(\int_{x^2}^{\sqrt{x}^{1/2}} \sqrt{y}\,dy\right)dx$
   内层积分：$\int\sqrt{y\,dy=\frac{2}{3}y^{3/2}$，代入得$\frac{2}{3}(x^{3/4}-\(x^3$))。
   外层积分：$\int_0^1 x\left(\frac{2}{3}x^{3/4}-\frac{2}{3}x^3\right)dx=\frac{2}{3}\int_0^1 (x^{7/4}-x^4dx=\frac{2}{3}\left(\frac{4}{11}-\frac{1}{5}\right)=\frac{6}{55}$。

(2) $\iint_D xy^2\,d\sigma$，$2)\(D$由$x^2+y^2=4$及$y$轴围成的右半区域

1. 确定区域：右半圆$x\in[0,2]$，$y\in[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$。
2. 积分计算：
   $\int_0^2 x\left(\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} y^2\,dy\right)dx$
   内层积分：$\int y^2dy=\frac{1}{3}y^3$，代入得$\frac{2}{3}(4-x^2)^{3/2}$。
   外层积分：$\int_0^2 x\cdot\frac{2}{3}(4-x^2)^{3/2}dx=\frac{2}{3}\int_0^4 u^{3/2}du=\frac{64}{15}$（换元$u=4-x^2$）。

(3) $\iint_D e^{x+y}\,d\sigma$，$D=\{(x,y)||x|+|\leq\leq1\}$

1. 区域对称性：$D$为菱形，分$x\geq0$和$x\leq0$两部分，对称。
2. 积分计算：
   $2\int_0^1 e^x\left(\int_0^{1-x} e^y\,dy\right)dx$
   内层积分：$\int e^y dy=e^y$，代入得$e^{1-x}-1$。
   外层积分：$2)\int_0^1 e^x(e^{1-x}-1)dx=2\int_0^1 (e- e^x)dx=2\left(e-\frac{e-1}{}\right)=e-e^{-1}$。

(4) $\iint_D (x^2+y^2-x)d\sigma$，$D$由$y=2,y=x,y=2x$围成

1. 确定区域：$y\in[0,2]$，$\frac{y}{2}\leq x\leq y$。
2. 积分计算：
   $\int_0^2 \left(\int_{y/2}^y (x^2+y^2-x)dx\right)dy$
   内层积分：$\int(x^2+y^2-x)dx=\frac{1}{3}x^3+y^2x-\frac{1}{2}x^2$，代入得$\frac{19}{48}y^3-\frac{1}{4}y^2$。
   外层积分：$\int_0^2\left(\frac{19}{48}y^3-\frac{1}{4}y^2}\right)dy=\frac{13}{6}$。