题目

18.设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1,2)，使得(f'(xi))/(f'(xi))=(xi)/(eta).

18.设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1,2)，使得 $\frac{f'(\xi)}{f'(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}.$

题目解答

答案

令 $F(x) = \ln x$，则 $F'(x) = \frac{1}{x} \neq 0$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in (1,2)$ 使得 \[ \frac{f(2) - f(1)}{\ln 2} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}} = \xi f'(\xi). \] 由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (1,2)$ 使得 \[ \ln 2 = \frac{1}{\eta}. \] 再次由拉格朗日中值定理，存在 $\zeta \in (1,2)$ 使得 \[ f(2) - f(1) = f'(\zeta). \] 联立得 \[ f'(\zeta) = \xi f'(\xi) \ln 2 = \xi f'(\xi) \cdot \frac{1}{\eta}, \] 即 \[ \frac{f'(\zeta)}{f'(\xi)} = \frac{\xi}{\eta}. \] **答案：** \[ \boxed{\frac{f'(\zeta)}{f'(\xi)} = \frac{\xi}{\eta}} \]

解析

考查要点：本题主要考查柯西中值定理和拉格朗日中值定理的综合应用，以及通过构造辅助函数解决复杂问题的能力。

解题核心思路：

  1. 构造辅助函数：选择$F(x) = \ln x$，利用其导数$\frac{1}{x} \neq 0$的特性，满足柯西中值定理的条件。
  2. 分步应用中值定理：
    • 柯西中值定理建立$f$与$F$的关系，得到$\xi$；
    • 拉格朗日中值定理分别对$F$和$f$单独应用，得到$\eta$和$\zeta$；
  3. 联立结果：通过代数变形，将三个中值定理的结果结合，最终得到目标等式。

破题关键点：

  • 辅助函数的选择是关键，需保证导数非零且能与原函数$f$形成关联；
  • 分步应用不同中值定理，明确每个定理对应的目标变量；
  • 代数联立时注意变量间的独立性，确保最终等式成立。

步骤1：应用柯西中值定理

构造辅助函数$F(x) = \ln x$，其导数为$F'(x) = \frac{1}{x} \neq 0$。根据柯西中值定理，存在$\xi \in (1,2)$，使得：
$\frac{f(2) - f(1)}{F(2) - F(1)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}.$
代入$F(2) - F(1) = \ln 2$和$F'(\xi) = \frac{1}{\xi}$，得：
$\frac{f(2) - f(1)}{\ln 2} = \xi f'(\xi). \tag{1}$

步骤2：应用拉格朗日中值定理（对$F(x)$）

对$F(x) = \ln x$在$[1,2]$应用拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (1,2)$，使得：
$F(2) - F(1) = F'(\eta)(2-1) \implies \ln 2 = \frac{1}{\eta}. \tag{2}$

步骤3：应用拉格朗日中值定理（对$f(x)$）

对$f(x)$在$[1,2]$应用拉格朗日中值定理，存在$\zeta \in (1,2)$，使得：
$f(2) - f(1) = f'(\zeta)(2-1) \implies f(2) - f(1) = f'(\zeta). \tag{3}$

步骤4：联立结果

将式(3)代入式(1)，得：
$\frac{f'(\zeta)}{\ln 2} = \xi f'(\xi).$
由式(2)知$\ln 2 = \frac{1}{\eta}$，代入上式得：
$f'(\zeta) = \xi f'(\xi) \cdot \frac{1}{\eta} \implies \frac{f'(\zeta)}{f'(\xi)} = \frac{\xi}{\eta}.$