假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布。证明： Y=1−e−2X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布。

步骤 1：确定 X 的分布函数
由于 X 服从参数为 2 的指数分布，其分布函数为：
\[ F(x) = \begin{cases}
1 - e^{-2x} & \text{if } x > 0 \\
0 & \text{if } x \leq 0
\end{cases} \]

步骤 2：确定 Y 的分布函数
设 Y 的分布函数为 G(y)，由于 Y = 1 - e^{-2X}，我们首先找到 Y 的反函数，即 X = -\frac{1}{2} \ln(1 - y)。因此，Y 的分布函数为：
\[ G(y) = P(Y \leq y) = P(1 - e^{-2X} \leq y) = P(X \leq -\frac{1}{2} \ln(1 - y)) \]

步骤 3：计算 Y 的分布函数
根据 X 的分布函数，我们有：
\[ G(y) = \begin{cases}
0 & \text{if } y \leq 0 \\
1 - e^{-2(-\frac{1}{2} \ln(1 - y))} & \text{if } 0 < y < 1 \\
1 & \text{if } y \geq 1
\end{cases} \]
简化得到：
\[ G(y) = \begin{cases}
0 & \text{if } y \leq 0 \\
y & \text{if } 0 < y < 1 \\
1 & \text{if } y \geq 1
\end{cases} \]

步骤 4：验证 Y 的分布函数
从上面的分布函数可以看出，Y 在 (0,1) 区间上服从均匀分布，因为其分布函数为线性函数，且在 (0,1) 区间上取值为 y，这正是均匀分布的特征。