题目

51、int(2x)/(1+x^2)dx=ln(1+x^2)+C（1分）T 正确F 错误

51、$\int\frac{2x}{1+x^{2}}dx=\ln(1+x^{2})+C$（1分） T 正确 F 错误

题目解答

答案

令 $u = 1 + x^2$，则 $du = 2x \, dx$。代入原积分得： \[ \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln (1 + x^2) + C \] （因 $u = 1 + x^2 > 0$，故 $|u| = u$）。 或对 $\ln (1 + x^2)$ 求导： \[ \frac{d}{dx} \ln (1 + x^2) = \frac{2x}{1 + x^2} \] 与被积函数一致。 因此，原等式正确。 答案：$\boxed{T}$

解析

本题考查不定积分的计算以及不定积分与求导的互逆关系。解题思路有两种，一是利用换元积分法计算给定的不定积分，二是对等式右边的函数求导，看其导数是否等于被积函数。

方法一：换元积分法

  1. 设$u = 1 + x^2$，对$u$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
    • $du=(1 + x^2)^\prime dx=(0 + 2x)dx = 2x dx$。
  2. 将$u = 1 + x^2$和$du = 2x dx$代入原积分$\int\frac{2x}{1+x^{2}}dx$中：
    • $\int\frac{2x}{1+x^{2}}dx=\int\frac{1}{u}du$。
  3. 根据不定积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$（$C$为常数）计算$\int\frac{1}{u}du$：
    • $\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C$。
  4. 把$u = 1 + x^2$代回$\ln|u| + C$：
    • 因为$x^2\geq0$，所以$1 + x^2>0$，那么$|u| = u = 1 + x^2$，则$\ln|u| + C=\ln(1 + x^2) + C$。

方法二：求导验证

  1. 对$\ln(1 + x^2)$求导，根据复合函数求导公式$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$f(u)=\ln u$，$g(x)=1 + x^2$。
    • 先对$f(u)$求导，$f^\prime(u)=\frac{1}{u}$；再对$g(x)$求导，$g^\prime(x)=(1 + x^2)^\prime=2x$。
    • 所以$\frac{d}{dx}\ln(1 + x^2)=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)=\frac{1}{1 + x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1 + x^2}$，其导数与被积函数一致。