题目
4.设随机事件A,B,C相互独立,P(A),P(B), (C)in (0,1) ,则必有 () .-|||-(A) A-B 与 B-A 独立 (B)AC 与 BC独立-|||-(C) P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) (D) (C AB)=P(C/A)P(C/B)
题目解答
答案
解:因为A,B,C相互独立,所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C),从而P(AB|C)=P(ABC)/P(C)=P(A)P(B)P(C)/P(C)=P(A)P(B).又因为P(A),P(B),P(C)∈(0,1),所以P(A)P(B)≠0,从而P(AB|C)=P(A|C)P(B|C).故应选(C).
解析
步骤 1：理解事件独立性
事件A, B, C相互独立意味着P(ABC) = P(A)P(B)P(C)。这意味着事件A, B, C的发生互不影响。
步骤 2：分析选项A
A-B与B-A独立，即A发生但B不发生与B发生但A不发生独立。这并不直接由A, B, C的独立性得出，因为独立性是关于事件同时发生的概率，而不是关于事件的差集。
步骤 3：分析选项B
AC与BC独立，即A和C同时发生与B和C同时发生独立。这也不直接由A, B, C的独立性得出，因为独立性是关于事件同时发生的概率，而不是关于事件的交集。
步骤 4：分析选项C
P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)。根据条件概率公式，P(AB|C) = P(ABC)/P(C)。由于A, B, C相互独立，P(ABC) = P(A)P(B)P(C)，所以P(AB|C) = P(A)P(B)。又因为P(A), P(B), P(C) ∈ (0,1)，所以P(A)P(B) ≠ 0，从而P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)。这符合A, B, C的独立性。
步骤 5：分析选项D
P(C|AB) = P(C|A)P(C|B)。这并不直接由A, B, C的独立性得出，因为独立性是关于事件同时发生的概率，而不是关于条件概率的乘积。
事件A, B, C相互独立意味着P(ABC) = P(A)P(B)P(C)。这意味着事件A, B, C的发生互不影响。
步骤 2：分析选项A
A-B与B-A独立，即A发生但B不发生与B发生但A不发生独立。这并不直接由A, B, C的独立性得出，因为独立性是关于事件同时发生的概率，而不是关于事件的差集。
步骤 3：分析选项B
AC与BC独立，即A和C同时发生与B和C同时发生独立。这也不直接由A, B, C的独立性得出，因为独立性是关于事件同时发生的概率，而不是关于事件的交集。
步骤 4：分析选项C
P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)。根据条件概率公式，P(AB|C) = P(ABC)/P(C)。由于A, B, C相互独立，P(ABC) = P(A)P(B)P(C)，所以P(AB|C) = P(A)P(B)。又因为P(A), P(B), P(C) ∈ (0,1)，所以P(A)P(B) ≠ 0，从而P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)。这符合A, B, C的独立性。
步骤 5：分析选项D
P(C|AB) = P(C|A)P(C|B)。这并不直接由A, B, C的独立性得出，因为独立性是关于事件同时发生的概率，而不是关于条件概率的乘积。