lim _(xarrow infty )xsin dfrac (1)(x)= __

考查要点：本题主要考查无穷小与无穷大的乘积极限的处理方法，以及等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：
当遇到形如$\infty \cdot 0$的不定型极限时，通常需要通过变量替换或等价无穷小替换将其转化为可直接计算的形式。本题中，通过令$t = \dfrac{1}{x}$，将原式转化为$\dfrac{\sin t}{t}$的极限，或利用$\sin t \approx t$（当$t \to 0$时）直接简化计算。

破题关键点：

1. 变量替换：将$x \to \infty$转化为$t \to 0$，简化表达式。
2. 等价无穷小替换：利用$\sin t \sim t$（当$t \to 0$）直接求解。

步骤1：变量替换
令$t = \dfrac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。原式可改写为：
$\lim_{x \to \infty} x \sin \dfrac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t}$

步骤2：计算极限
根据基本极限公式$\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1$，得：
$\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1$

步骤3：等价无穷小替换验证
当$t \to 0$时，$\sin t \approx t$，因此：
$x \sin \dfrac{1}{x} = x \cdot \dfrac{1}{x} = 1$