题目
设f(x)是连续可导函数，当0＜a＜x＜b时，恒有xf’(x)＜f(x)，则（）。A. af(x)＞xf(a)B. bf(x)＞xf(b)C. xf(x)＞bf(b)D. xf(x)＜af(a)
设f(x)是连续可导函数，当0＜a＜x＜b时，恒有xf’(x)＜f(x)，则（）。
A. af(x)＞xf(a)
B. bf(x)＞xf(b)
C. xf(x)＞bf(b)
D. xf(x)＜af(a)
题目解答
答案
B. bf(x)＞xf(b)
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数g(x) = f(x)/x，其中x属于(a, b)。根据题目条件，当0＜a＜x＜b时，恒有xf’(x)＜f(x)。我们需要利用这个条件来分析g(x)的性质。
步骤 2：求导
对g(x)求导，得到g'(x) = (xf'(x) - f(x))/x^2。根据题目条件，xf’(x)＜f(x)，所以xf’(x) - f(x)＜0，因此g'(x)＜0。这表明g(x)在(a, b)区间内是单调递减的。
步骤 3：利用单调性
由于g(x)在(a, b)区间内单调递减，所以对于任意的a＜x＜b，都有g(x)＜g(a)，即f(x)/x＜f(a)/a。两边同时乘以x，得到f(x)＜xf(a)/a，即af(x)＜xf(a)。同理，对于任意的a＜x＜b，都有g(x)＞g(b)，即f(x)/x＞f(b)/b。两边同时乘以x，得到f(x)＞xf(b)/b，即bf(x)＞xf(b)。
构造辅助函数g(x) = f(x)/x，其中x属于(a, b)。根据题目条件，当0＜a＜x＜b时，恒有xf’(x)＜f(x)。我们需要利用这个条件来分析g(x)的性质。
步骤 2：求导
对g(x)求导，得到g'(x) = (xf'(x) - f(x))/x^2。根据题目条件，xf’(x)＜f(x)，所以xf’(x) - f(x)＜0，因此g'(x)＜0。这表明g(x)在(a, b)区间内是单调递减的。
步骤 3：利用单调性
由于g(x)在(a, b)区间内单调递减，所以对于任意的a＜x＜b，都有g(x)＜g(a)，即f(x)/x＜f(a)/a。两边同时乘以x，得到f(x)＜xf(a)/a，即af(x)＜xf(a)。同理，对于任意的a＜x＜b，都有g(x)＞g(b)，即f(x)/x＞f(b)/b。两边同时乘以x，得到f(x)＞xf(b)/b，即bf(x)＞xf(b)。