题目
560 设f(x)在[a,b]上可导,又 '(x)+(f)^2(x)-(int )_(a)^xf(t)dt=0 且 (int )_(a)^bf(t)dt=0, 则 (int )_(a)^xf(t)dt-|||-在(a,b)内-|||-(A)恒为正. (B)恒为负. (C)恒为0. (D)变号.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数F(x)
定义 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ ,则 $F'(x)=f(x)$ , $F''(x)=f'(x)$ ,且 $F(a)=F(b)=0$ 。
步骤 2：将原方程用F(x)表示
将原方程 $f'(x)+{f}^{2}(x)-{\int }_{a}^{x}f(t)dt=0$ 用F(x)表示，得到 $F''(x)+{(F'(x))}^{2}-F(x)=0$ 。
步骤 3：分析F(x)在(a,b)内的性质
假设F(x)在(a,b)内恒正或恒负，那么F(x)在(a,b)内存在最大值或最小值。设 $F(x)$ 在 $x_0 \in (a,b)$ 处取得最大值或最小值，则 $F'(x_0)=0$ ，$F''(x_0) \leq 0$ 或 $F''(x_0) \geq 0$ 。但由 $F''(x_0)+{(F'(x_0))}^{2}-F(x_0)=0$ 可知 $F''(x_0)=F(x_0)$ ，这与 $F(x_0)$ 的正负性矛盾。因此，F(x)在(a,b)内不能恒正或恒负。
步骤 4：确定F(x)在(a,b)内的性质
由于F(x)在(a,b)内不能恒正或恒负，且 $F(a)=F(b)=0$ ，则F(x)在(a,b)内只能恒为0。
定义 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ ,则 $F'(x)=f(x)$ , $F''(x)=f'(x)$ ,且 $F(a)=F(b)=0$ 。
步骤 2：将原方程用F(x)表示
将原方程 $f'(x)+{f}^{2}(x)-{\int }_{a}^{x}f(t)dt=0$ 用F(x)表示，得到 $F''(x)+{(F'(x))}^{2}-F(x)=0$ 。
步骤 3：分析F(x)在(a,b)内的性质
假设F(x)在(a,b)内恒正或恒负，那么F(x)在(a,b)内存在最大值或最小值。设 $F(x)$ 在 $x_0 \in (a,b)$ 处取得最大值或最小值，则 $F'(x_0)=0$ ，$F''(x_0) \leq 0$ 或 $F''(x_0) \geq 0$ 。但由 $F''(x_0)+{(F'(x_0))}^{2}-F(x_0)=0$ 可知 $F''(x_0)=F(x_0)$ ，这与 $F(x_0)$ 的正负性矛盾。因此，F(x)在(a,b)内不能恒正或恒负。
步骤 4：确定F(x)在(a,b)内的性质
由于F(x)在(a,b)内不能恒正或恒负，且 $F(a)=F(b)=0$ ，则F(x)在(a,b)内只能恒为0。