题目
例7 设 (x)=xsin x+cos x, 下列命题正确的是 ()-|||-A.f(0)是极大值, (dfrac (pi )(2)) 是极小值-|||-B.f(0)是极小值, (dfrac (pi )(2)) 是极大值-|||-C.f(0)是极大值, (dfrac (pi )(2)) 是极大值-|||-D.f(0)是极小值, (dfrac (pi )(2)) 是极小值
题目解答
答案
解析
步骤 1：求一阶导数
对函数 $f(x)=x\sin x+\cos x$ 求一阶导数，得到 $f'(x)=x\cos x$。
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数 $f'(x)=x\cos x$ 求二阶导数，得到 $f''(x)=\cos x-x\sin x$。
步骤 3：判断极值点
计算 $f'(0)$ 和 $f'(\dfrac {\pi }{2})$，得到 $f'(0)=0$ 和 $f'(\dfrac {\pi }{2})=0$。然后计算 $f''(0)$ 和 $f''(\dfrac {\pi }{2})$，得到 $f''(0)=1\gt 0$ 和 $f''(\dfrac {\pi }{2})=-\dfrac {\pi }{2}\lt 0$。根据二阶导数的符号，可以判断 $f(0)$ 是极小值，$f(\dfrac {\pi }{2})$ 是极大值。
对函数 $f(x)=x\sin x+\cos x$ 求一阶导数，得到 $f'(x)=x\cos x$。
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数 $f'(x)=x\cos x$ 求二阶导数，得到 $f''(x)=\cos x-x\sin x$。
步骤 3：判断极值点
计算 $f'(0)$ 和 $f'(\dfrac {\pi }{2})$，得到 $f'(0)=0$ 和 $f'(\dfrac {\pi }{2})=0$。然后计算 $f''(0)$ 和 $f''(\dfrac {\pi }{2})$，得到 $f''(0)=1\gt 0$ 和 $f''(\dfrac {\pi }{2})=-\dfrac {\pi }{2}\lt 0$。根据二阶导数的符号，可以判断 $f(0)$ 是极小值，$f(\dfrac {\pi }{2})$ 是极大值。