题目
11、填空 D是由圆周 x^2+y^2=2y 围成的闭区域，则二重积分 iint_(D)9sqrt(x^2)+y^(2)dxdy 的值为____。 (2分)
11、填空 D是由圆周 $x^{2}+y^{2}=2y$ 围成的闭区域，则二重积分 $\iint_{D}9\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$ 的值为____。 (2分)
题目解答
答案
将圆周方程 $x^2 + y^2 = 2y$ 转换为极坐标形式，得 $r = 2\sin\theta$（$\theta \in [0, \pi]$）。在极坐标下，二重积分为 $\iint_{D} 9\sqrt{x^2 + y^2} \, dxdy = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\sin\theta} 9r^2 \, dr \, d\theta.$ 先对 $r$ 积分得 $\int_{0}^{2\sin\theta} 9r^2 \, dr = 24\sin^3\theta,$ 再对 $\theta$ 积分，利用 $\sin^3\theta = \sin\theta(1 - \cos^2\theta)$，得 $\int_{0}^{\pi} 24\sin^3\theta \, d\theta = 24 \left( \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta - \int_{0}^{\pi} \sin\theta\cos^2\theta \, d\theta \right) = 24 \left( 2 - \frac{2}{3} \right) = 32.$ 答案： $\boxed{32}$
解析
本题考查利用极坐标计算二重积分的知识。解题思路如下：
- 首先将给定的圆周方程转化为极坐标形式，确定积分区域 $D$ 在极坐标下的表示。
- 把被积函数和面积元素 $dxdy$ 转化为极坐标形式。
- 确定积分限，将二重积分化为累次积分。
- 先对 $r$ 进行积分，再对 $\theta$ 进行积分，计算出最终结果。
详细解析
- 将圆周方程转化为极坐标形式：
已知圆周方程 $x^{2}+y^{2}=2y$，在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$，将其代入原方程可得：
$r^{2}=2r\sin\theta$，因为 $r\geq0$，两边同时除以 $r$ 得到 $r = 2\sin\theta$。
对于圆 $x^{2}+y^{2}=2y$，即 $x^{2}+(y - 1)^{2}=1$，它是一个圆心为 $(0,1)$，半径为 $1$ 的圆，$\theta$ 的取值范围是 $[0, \pi]$。 - 将被积函数和面积元素转化为极坐标形式：
被积函数 $9\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，在极坐标下 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r$，所以被积函数变为 $9r$。
面积元素 $dxdy$ 在极坐标下为 $r drd\theta$，则原二重积分 $\iint_{D}9\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$ 变为 $\iint_{D}9r\cdot r drd\theta=\iint_{D}9r^{2}drd\theta$。 - 确定积分限并化为累次积分：
由前面分析可知，$r$ 的积分下限为 $0$，上限为 $2\sin\theta$，$\theta$ 的积分下限为 $0$，上限为 $\pi$，所以二重积分化为累次积分：
$\iint_{D}9r^{2}drd\theta=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}9r^{2}drd\theta$ - 先对 $r$ 积分：
$\int_{0}^{2\sin\theta}9r^{2}dr=9\times\frac{1}{3}r^{3}\big|_{0}^{2\sin\theta}=3r^{3}\big|_{0}^{2\sin\theta}=3\times(2\sin\theta)^{3}=24\sin^{3}\theta$ - 再对 $\theta$ 积分：
$\int_{0}^{\pi}24\sin^{3}\theta d\theta = 24\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta d\theta$
因为 $\sin^{3}\theta=\sin\theta(1 - \cos^{2}\theta)$，所以：
$24\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta d\theta=24\int_{0}^{\pi}\sin\theta(1 - \cos^{2}\theta)d\theta=24\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta-\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta d\theta\right)$- 计算 $\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta$：
$\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=-\cos\theta\big|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$ - 计算 $\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta d\theta$：
令 $u = \cos\theta$，则 $du=-\sin\theta d\theta$。
当 $\theta = 0$ 时，$u = \cos0 = 1$；当 $\theta = \pi$ 时，$u = \cos\pi=-1$。
$\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta d\theta=-\int_{1}^{-1}u^{2}du=\int_{-1}^{1}u^{2}du=\frac{1}{3}u^{3}\big|_{-1}^{1}=\frac{1}{3}(1^{3}-(-1)^{3})=\frac{2}{3}$
所以 $24\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta-\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta d\theta\right)=24\left(2-\frac{2}{3}\right)=24\times\frac{4}{3}=32$
- 计算 $\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta$：