题目
设随机变量X具有连续的概率密度f_(x)(x),则Y=aX+b(a neq 0, b是常数)的概率密度为()A. (1)/(|a|)f_(x)((y-b)/(a))B. (1)/(a)f_(x)((y-b)/(a))C. -(1)/(a)f_(x)((y-b)/(a))D. (1)/(a)f_(x)((y-b)/(|a|))
设随机变量X具有连续的概率密度$f_{x}(x)$,则Y=aX+b($a \neq 0, b$是常数)的概率密度为()
A. $\frac{1}{|a|}f_{x}(\frac{y-b}{a})$
B. $\frac{1}{a}f_{x}(\frac{y-b}{a})$
C. $-\frac{1}{a}f_{x}(\frac{y-b}{a})$
D. $\frac{1}{a}f_{x}(\frac{y-b}{|a|})$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{|a|}f_{x}(\frac{y-b}{a})$
解析
步骤 1：确定 $ X $ 关于 $ Y $ 的反函数
由于 $ Y = aX + b $，我们可以解出 $ X $ 关于 $ Y $ 的表达式： \[ X = \frac{Y - b}{a} \]
步骤 2：计算反函数的导数
$ X $ 关于 $ Y $ 的导数为： \[ \frac{dX}{dY} = \frac{1}{a} \] $ \frac{dX}{dY} $ 的绝对值为： \[ \left| \frac{dX}{dY} \right| = \left| \frac{1}{a} \right| = \frac{1}{|a|} \]
步骤 3：使用变量变换公式
随机变量 $ Y $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $ 可以通过以下公式找到： \[ f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) \left| \frac{dX}{dY} \right| \] 代入我们找到的 $ \left| \frac{dX}{dY} \right| $ 的值，我们得到： \[ f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) \cdot \frac{1}{|a|} \] 因此，$ Y $ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) \]
由于 $ Y = aX + b $，我们可以解出 $ X $ 关于 $ Y $ 的表达式： \[ X = \frac{Y - b}{a} \]
步骤 2：计算反函数的导数
$ X $ 关于 $ Y $ 的导数为： \[ \frac{dX}{dY} = \frac{1}{a} \] $ \frac{dX}{dY} $ 的绝对值为： \[ \left| \frac{dX}{dY} \right| = \left| \frac{1}{a} \right| = \frac{1}{|a|} \]
步骤 3：使用变量变换公式
随机变量 $ Y $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $ 可以通过以下公式找到： \[ f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) \left| \frac{dX}{dY} \right| \] 代入我们找到的 $ \left| \frac{dX}{dY} \right| $ 的值，我们得到： \[ f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) \cdot \frac{1}{|a|} \] 因此，$ Y $ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) \]